0280

281

§ 4. Obliczanie nieoznaczoności

Drugi składnik z prawej strony dla x<x₀=a+rj będzie na mocy (1) mniejszy od Wskutek tego, że g(x)-> + co, gdy x->«, pierwszy składnik dąży do zera, znajdzie się więc liczba <J>0 (można uważać, że ó<rj), że dla a<x<a + S pierwszy składnik będzie mniejszy od \s. Dla wspomnianych wyżej wartości x mamy

<e,

m

g(x)

co właśnie należało udowodnić (^Ł).

W przypadku gdy K= +oo i z góry wiadomo, że f\x)¥ⁱ0 przynajmniej w pobliżu a, zamieniając role / i g otrzymujemy

a więc

..    9'(x)

lim-= 0,

9 W „ lim -= 0,

x-a f(x)

skąd ostatecznie

lim -= + oo ,

x~a 9(x)

ponieważ, przynajmniej w pobliżu a, będzie oczywiście f(x)> 0 i g(x)>0 (²).

Zwracamy uwagę na to, że dowód ten można przenieść bez istotnych zmian także na przypadek a — — oo. Dokładnie w ten sam sposób twierdzenie można by udowodnić również dla przedziału <6, a) (b<a) tak przy a skończonym, jak i przy a = + co. Twierdzenie 4 można więc automatycznie rozszerzyć na przypadek nieskończonej granicy argumentu.

Obliczymy dla przykładu znane nam już granice.

1

7) lim ——= lim —^rr= lim —;=0 (jeśli /<>0).

*- + « X    *- + os ftx    x~ + <cftx

Mamy dalej

x"    fix^u ~ ¹

8)    lim — = lim —- (a>l,^>0).

*— + a> ci *— + cc a In a

Jeśli n>\, to z prawej strony znowu mamy nieoznaczoność tej samej postaci oo/co, ale kontynuując ten proces i stosując wielokrotnie twierdzenie 4, otrzymamy w końcu w liczniku potęgę o wykładniku ujemnym (albo zerowym). Dlatego w każdym wypadku

x“

lim --=0.

x-> + x U

Zrobimy ogólną uwagę dotyczącą twierdzeń 3, 3* i 4. Znajdujemy w nich granicę stosunku funkcji przy założeniu, że istnieje granica stosunku pochodnych. Odwrócenie tych twierdzeń nie jest jednak dopuszczalne i pierwsza granica może istnieć, chociaż nie istnieje druga.

(‘) Podkreślamy, że w naszych rozważaniach nie korzystaliśmy faktycznie z założenia, że lim/ (.*) = = +co (porównaj dowód twierdzenia Stolza w ustępie 33).

(²) Przypadek K=—od przy założeniach naszego twierdzenia jest niemożliwy.