1 711

LABORATORIUM © AMD2012

Laboratorium Elektrotechniki i elektroniki

Temat ćwiczenia:

STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

Wprowadzenie

Przejście od jednego stanu pracy układu elektrycznego złożonego z elementów R, L, C do innego stanu pracy, wywołany np. zmianą parametrów układu, jego struktury lub też zmianą rodzaju i charakteru wymuszeń nie odbywa się skokowo, ale trwa pewien przedział czasu. Teoretycznie ten przedział czasu rozciąga się od momentu początkowego aż do nieskończoności. Stan ten nazywamy stanem nieustalonym. Przejście od jednego stanu pracy do drugiego obejmujemy wspólną nazwą - komutacja, przy czym zakłada się, że sam fakt komutacji odbywa się w czasie nieskończenie krótkim. Każdemu stanowi pracy układu odpowiada określony zapas energii pola elektrycznego i pola magnetycznego (w modelach obwodowych indukcyjności i pojemności reprezentowany przez tzw. warunki początkowe, tj. prąd z'o w indukcyjności i napięcie uq na pojemności. Zarówno energia pola magnetycznego zgromadzona w indukcyjności oraz energia pola elektrycznęgo zgromadzona w pojemności mogą zmieniać się tylko w sposób ciągły (nie skokowo), gdyż w przeciwnym przypadku moc jako pochodna energii (szybkość jej zmian) osiągała by wartość nieskończenie dużą, co fizycznie nie jest możliwe.

Wspomniano wyżej, że przejście od jednego stanu pracy do drugiego wymaga teoretycznie nieskończenie dużego czasu. Praktycznie ten przedział czasu przejścia od jednego do drugiego stanu (stan przejściowy) może być bardzo krótki, po upływie którego prądy i napięcia zbliżają się na tyle blisko wartości ustalonych, że bez popełnienia błędu można taki stan uznać za ustalony.

Jeśli układ elektryczny nie zawiera indukcyjności oraz pojemności (jest obwodem rezystancyjnym, czyli składa się tylko z oporności), wtedy przejście od jednego do drugiego stanu ustalonego odbywa się skokowo, bez żadnych opóźnień ponieważ rezystancje nie posiadaja zdolności gromadzenia energii.

Obwód składający się z elementów R, L, C może być traktowany jako obwód tylko rezystancyjny, jeśli wymuszenia w nim działające są stałe (niezależne od czasu) oraz gdy pominiemy stan przejściowy obwodu.

Występowanie stanów przejściowych w układach elektrycznych z jednej strony jest niepożądane, czasem niebezpieczne (np. przy zwarciach występujących w systemach energetycznych), a z drugiej strony - stan przejściowy może być normalnym stanem pracy układu, jak to ma miejsce np. w systemach radiotechnicznych, układach automatycznego sterowania itp.

Do analizy stanów nieustalonych zachodzących w układach elektrycznych złożonych z liniowych i skupionych elementów R, L, C można stosować różny aparat matematyczny. W instrukcji posługujemy się tzw. metodą klasyczną, która polega na ułożeniu, na podstawie praw Kirchhoffa, liniowych równań obwodu elektrycznego. Równania te są równaniami różniczkowo-całkowymi z czasową zmienną niezależną t. W ćwiczeniu będziemy się zajmować układami R, L, C opisanymi równaniami różniczkowymi drugiego rzędu. Rozwiązanie równania różniczkowego jest sumą dwóch części. Jedną z nich jest całka szczególna równania niejednorodnego (ogólnie nazywaną składową wymuszoną), drugą zaś - całka ogólna równania różniczkowego jednorodnego (składowa ta nosi nazwę składowej swobodnej). Wartości początkowe umożliwiają wyznaczenie stałych całkowania występujących w rozwiązaniu.

x(t) = x_s(t) + x_w(t)

gdzie:    x_s(t) - składowa swobodna (odpowiedź na warunki początkowe)

x_u(t) - składowa wymuszona (odpowiedź na wymuszenie)

Rozwiązanie równania różniczkowego można również przedstawić jako sumę składowej przejściowej i składowej ustalonej

x(t) = x_p(t) + x_u(t)

gdzie:    x_p(t) - składowa przejściowa

x_u(t) - składowa ustalona

Składowa przejściowa ma taką własność, że dla czasu dążącego do nieskończoności zanika.

limjr^r) = 0

Natomiast składowa ustalona ma charakter wymuszenia.