17

4. Tyczenie łuku za pomocą rzędnych od stycznej

owego obierze-ly punkt stycznego punktu B, ikający z trój-

Jeżeli styczną w dowolnym punkcie P łukig my za oś x-ów, a za początek układu przyjnf ności (rys. 43), to dla współrzędnych x i y dcf położonego na tym łuku, zachodzi związek i kąta OBF:

e ze-

(R-y)2+x ² = R²,

czyli

R-y = y^/R²-x\

a więc

y = R-]/R*-x* = R-}/-(R-x)(R+x). 'trty

Odpowiednie wartości y dla różnych promieni są zw„ ₍ stawione w tablicach. Jeżeli jednak zajdzie potrzeba obliczania

rzędnych y, to chcąc uniknąć pierwiastkowania korzystamy zwykle z innego wzoru, który otrzymamy rozwijając wzór (32):

R²—2Ry+y²+x² — R², a po uporządkowaniu

2Ry — x²+y²,

skąd

y =

X⁴¹

y

2R 2R ’

(34)

Drugi wyraz prawej strony będzie dla dużych promieni wielkością małą, możemy go więc pominąć i wówczas otrzymamy wzór przybliżony

Jest to równanie paraboli drugiego stopnia, którą w okolicy punktu styczności można zastąpić łuk kołowy. Jeżeli przyjmiemy, że rzędne y mają być wyznaczone z dokładnością do 1 cm, lo wzór (35) będziemy mogli stosować dla wartości x nie przekraczających 0,15 R. Dokładniejsze wyniki możemy otrzymać w ten sposób, że najpierw obliczamy y z wzoru (35), a uzyskaną w ten sposób wartość przybliżoną wstawiamy następnie do prawej strony równania (34).

Za x przyjmujemy zwykle wielokrotność pewnej okrągłej wielkości, np. 5, 10, 20 m. Odmierzając odcięte od punktu styczności i wystawiając z ich końców rzędne y, obliczone wg podanych wzorów, otrzymamy punkty pośrednie, które jednak nie będą rozmieszczone na łuku w równych odstępach. Odcinki łuku wzrastają w miarę oddalania się od punktu styczności, a długość ich nie będzie znana, jeżeli nie przeprowadzimy dodatkowych obliczeń. Do obliczenia odciętej i rzędnej punktu hektometro-wego wzór (33) nie nadaje się, posługujemy się więc w tym celu wzorami ogólnymi (18) i (19).

Tyczenie punktów pośrednich prowadzimy najpierw wzdłuż obu stycznych głównych poczynając od punktów P i K. Aby uniknąć zbyt długich rzędnych możemy jeszcze wykorzystać styczną pomocniczą w punkcie S, tycząc od tego punktu w obie strony. W razie potrzeby możemy jeszcze bardziej zagęścić wie-lobok stycznych. Gdyby jednak zaszła potrzeba wyznaczenia nowej stycznej w ostatnim wyznaczonym punkcie B lub w innym punkcie pośrednim o danych współrzędnych x i y, to otrzymamy ją odmierzając na stycznej głównej PA odcinek t = PC i łącząc otrzymany punkt C z punktem B. Potrzebną wielkość t znajdziemy albo z podobieństwa trójkątów POC i PAB:

t =

Ry

X ’

(36)

albo z trójkąta ABC stosując twierdzenie Pitagorasa:

t2 = ya+(x-t)²,

skąd po prostych przekształceniach

t

x

~2

JC

2x

(36a)

5.

moc

Tyczenie równych odcinków ą rzędnych od stycznej

łuku

za p o-

Rozmieszczenie punktów pośrednich na łuku w równych odstępach jest bardzo korzystne w praktyce, przebieg łuku jest bowiem wtedy wyznaczony w terenie równomiernie, a wytycze-

6* 83