CCF20091117008

240

CIĄGI

Uwaga. Podane na poprzedniej stronie własności granic można zapisać w skrócie za pomocą symboli +oo i -oo. Obok zapisane są niektóre równości odpowiadające tym własnościom.

(+oo) + (+00) = +00 (-oo) + (-oo) = -00 (-oo) - (+co) = -co (+oo) • q = +oo dla q > O (-oo) • q = -oo dla q > O

(+00) • (+oo) = +00 (— 00) • (—co) = +00 (-co) • (+co) = -co (+oo) • q = -oo dla q < O (-oo) • q = +oo dla q <0

Zastanówmy się teraz, czy można ustalić reguły dotyczące obliczania \im(a_n - b„),

n—co

gdy ciągi {a„) i (b_n) są rozbieżne do +oo.

Przyjrzyj się poniższym czterem przykładom. Zauważ, że w każdymi wypadku lim a_n = +oo i lim b„ = +oo. Natomiast rezultaty obliczania granicy ciągu

n — oo    /I —oo

Cn	— O-yi	~bn	są różne.
->	&n ~	n^2	lim(a„	-bn) =	= lim (u^2 -	-2 n^2) =	lim(-n^2) = -oo
	bn =	2 n^2	n — co		n—oo		n—co
	an	4 n^3	lim(a„	-bn) =	= lim(4n^3	- n^3) =	lim 3n^3 = +oo
	■	n^3	n — co		n — co		n — co
	Un ^=	n o
		O	lim(an	-b„) =	= lim (^ -		| = lim(-5) = -5
	bn =	f ^+	5		n —oo \ d	3 >	n—co

-» a_n = n + (-1)" lim(a_n -b„) nie istnieje, gdyż a„-b_n = (n + (-1)"-ń) = (-1)", a ten

n—co

b_n = n    ciąg jest rozbieżny i nie ma ani granicy właściwej, ani niewłaściwej

Sytuację, z którą mieliśmy do czynienia w powyższych przykładach, można opisać za pomocą symbolu „oo - oo”. Jak widać, nie można podać ogólnej reguły pozwalającej określić lim(a„ -b„), gdy ciągi (a_n) i (b„) są rozbieżne do +oo. Możemy więc

n —oo

powiedzieć, że symbol „oo - oo” jest nieoznaczony.

Obok podajemy symbole nieoznaczone, [    Symbole nieoznaczone    \

z którymi możesz się spotkać przy oka- '    „ _n    o >■ oo,.    !

..    ...    .    .    .    ,    »«*-«>    „0-OO    „fj    „ —

zji obhczama gramc ciągów.    ^{1    u 00    1}

Ćwiczenie F. Dane są ciągi (a_n) i (b„). Zauważ, że lim a_n = O i lim b„ = +oo. Oblicz, jeśli

/I —oo    n—co

istnieje, lim(tt_n • b„).

n—co

a)a„ = ^,b„ = n⁶ b) a„ = p, b_n = n³ c) a_n = i, b_n = 6n³    d) a„ = ⁽-^zjf-,b„ = n