mad kol1 2009 s2

Matematyka dyskretna - materiały ćwiczeniowe PJWSTK

8.    Dla którego z poniższych stwierdzeń istnieje kontrprzykład:

"ł"(a) jeżeli a £ N i 6 6 Z, to a • |6| < c, gdzie c dowolną liczbą naturalną,

-'(b) jeżeli a e N i 6 6 Z, to a ■ |6| > c, gdzie c dowolną liczbą całkowitą ujemną, —(c) \[x = z wtedy i tylko wtedy, gdy z > 0, gdzie x, z £ R.

9.    Które z poniższych stwierdzeń jest tautologią rachunku zdań:

" (a) (p A -ip) V (ą © -ią),

~f”(b) -■ (p A ->q) <-> -•p V q,

—(c) (p^?)«((pA-.ę)-> p)?

10.    Niech p <-> q oraz q —» r i r będą zbiorem przesłanek, wtedy:

-/-(a) zbiór ten jest niesprzeczny,

—(b) wnioskiem ze zbioru przesłanek jest stwierdzenie pAg,

~~{c) wnioskiem ze zbioru przesłanek jest stwierdzenie r —* p.

11.    Niech / :    X —> Y będzie    funkcją, jeżeli:

— -)fta)    X =    R i    / (x) =    x²,    to    y = Im (/) =    R,

-^-(b)    X =    R i    / (x) =    x²,    to    Y D Im (/) ,

—(c)    X =    R i    / (x) =    x²,    to    F n Im (/) =    R+ U {0} .

12.    Niech / : R —> R będzie funkcją, jeżeh:

4-(a) / (a:) = |ar| + -, to funkcja / nie jest suriekcją, ale jest iniekcją,

■—(b) / (x) = sin (x) - to funkcja / jest suriekcją, ale nie jest iniekcją,

—(c) / (x) = dla x =£- 0 oraz / (0) = 0, to funkcja / jest bijekcją.

13.    Rozważmy funkcję / : R \ {0} —* R, gdzie f (x) = |-J, wtedy:

-^(a) dla A = [-1,1] zachodzi / (A) = (0, oo),

—    (b) dla B = (1,2) zachodzi f~^l (B) = (-1, -|) U (i, l),

—(c) dla C = {i, 1} zachodzi / (C) n f~^l (C) = 0.

14.    Niech / :R-tl będzie funkcją, jeżeli:

(a) / (x) = ||i| - 2|, to /-¹ (x) = || |x| - l|,

—    (b) / (x) = x⁵ + 5, to /^_1 (x) = \Jx — 5,

-\-(c) / (a:) = /^_1 (x), to / (x) = x.

15. Niech / : R —>R, p:R—>R, ń:R—>R będą funkcjami, jeżeh:

(a) / (x) = x², g (x) = 2x, h (x) = sinx, to (jo/o/i) (x) = sin (2x²),

•-"(b) / (x) = sinx, g (x) = 2x, h (x) = x², to (g o f o h) (x) = (2sin (x))²,

—    (c) ((/ og)oh) (x) = (/ O (g o h)) (x), to / (x) = g (x) = h (x).

2 Magdalena Kacprzak &; Paweł Rembelski