MAT07

7

-    ⁺ <^fi- -HO hwr* [*F[1 - N»0t)l] ₊(a- |^)-^-arc.g^

ln(ir+/3²)

w*-**

iŁ

/=x

rarctg-^

Ostatecznie.

I

Ax + B _ A i„ I

ax~ + bx + c

dx = -- In 4r(ax² + bx + c) + 2 a    ^a

2aB - bA _arct 2ax + b

2 a

y=A

Przykłady

1.    f ,^3t~' dx = 4 ln(.v² + 3.v + 5) —pr-arcta-^Ai.

J .v²+3.r+5    2    /TT ^& /TT

2. f —— = -4 ln(.v² - a* + l) —Weta ~¹4^l •

J -x²+x-\    2 ^v    ' /j - /3

Gdy /? > 1, stosujemy wzór rekurencyjny

f clx _    1__,v , 2/? - 3 r dx

J (.v² + 1)"    2» - 2 _(v2 ₊ | )»-'    2/7-2 J (__v2 ₊ ] )»-'

Przykłady

1.

f ,^3v+l ,dx J (.t²+3x+5)²

² I

,xcłx

(~x-+x-\)^>

Zadania

Obliczyć następujące całki nieoznaczone

1 f -Aśl.

• J 2x-3 ’

J2 dx

2.

3.

4.

5.

6.

I

-4.Y+3 ’ ldx

(2x-3)² ’ J2dx

J (-4.Y+3)³

f -?=*-dx,

J Jf4 *

I

-+.Y+1

x-j2

■dx.

x^z+JYx+\

⁷- l pfe*-

x+l)²

8

(• x-/I

J (x²+/2x-

4. Całkowanie funkcji wymiernych

Aby wyznaczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, należy najpierw wykonać dzielenie licznika przez mianownik, tj. wykonać dzielenie wielomianu przez wielomian. W wyniku takiego działania otrzymujemy wielomian, którego stopień jest równy różnicy stopni licznika i mianownika (taki wielomian możemy bardzo łatwo scałkować) oraz resztę w postaci funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest już silnie mniejszy od stopnia mianownika.

Wspomnianą wyżej resztę całkujemy w ten sposób, że najpierw rozkładamy ją na skończoną sumę ułamków prostych (pierwszego bądź drugiego rodzaju), a następnie całkujemy otrzymane ułamki proste.

Lakoniczny opis powyższej procedury zilustrujemy konkretnymi przykładami.

Przykłady

1. Aby obliczyć całkę

f -V- - 2.v⁴ + 4-v^: - 4,v + 3 j .

J A'³ - 2.Y² + .Y

zauważmy najpierw, że funkcja podcałkowa jest funkją wymierną, w której stopień licznika jest

Opracował: Marian Malec