Scan10059

Jest to bryła ograniczona z dołu powierzchnią stożkową, a z góry- paraboioidą. Wykorzystamy współrzędne walcowe. Wyznaczymy obszar D, który będzie kołem o środku 0(0,0,#) i promieniu 2, gdyż :

(z = 6-x² -y² ₂

i ■ ₂    2    ₂ ^=>z +2-6 = 0

[ z = x + y

A = 25, VA = 5

=2l^{v z}2 1 —r— = -3 < 0 , odpada.

-1 + 5

czyli

2² = x² + v² => R = 2

0<<p<2Il\ .

V:<

Mamy

0 < r < 2 yr² < z < ó - r²

T    ,

¹    2n 2    6~r²    2    2

V |= jjjdxdydz = jd<p jrdr jdz = 211 jr(6 - r² - r)dr = 2TI J(6r — r³ —r² )dr =

o o

= 2U

Jeżeli zmienne x,y,z zastąpimy zmiennymi cp,r,® gdzie:

[x = rcosę?sin© y y = rsincpsin©'

|[ z = r cos 0 {to wyrazimy

całkę potrójną w układzie sferycznym, gdzie <p,r,0 są to tzw. współrzędne sferyczne oraz

0<r^ +od₅ 0 < ę < 2H_y 0 < © < II

Wówczas jakobian przekształcenia wynosi M ⁼ ^ ‘jsin©| _f a całka potrójna przyjmuje postać:

\\\f(,x_iy₉z)dydxdz = J JJ/(r sin 0 cos    sin© sin cos 0)-r²|sin©|c/ę)Jr(i©

_1_V__