Zdjęcie 0088

>    local x,y,j:

>    x[0]:=x0:    y[0]:=y0:

>    for j from 1 to N do

>    x[j] :=evalf (rho*y[j-l]) :

>    y[j] :=evalf (r*x[j-l]*(l-x[j-l]/a)) :

>    end do:

>    plots[pointplot](seq([y[k],x[k]],k=i..N),symbol=point);

>    end proc:

>    salmon(.7,5.7,l,.7,.9,100000);

24. Niech populacja X rozwija się zgodnie z modelem Verhulsta, przy czym w każdym pokoleniu dokonujemy pewnego odłowu H_n :

X_n+\ ^

rX_n X_n + A

H_n.

Przeanalizować, jaki maksymalnie może być odiów, aby populacja nie wymarła.

25. Rozważmy model rozwoju epidemii Kermacka-McKendricka. Niech S_n oznacza liczebność grupy podatnych na chorobę, /„ 1 zarażonych, a Rn - tych, którzy nabyli odporność. Zakładamy, że r- choroba nie jest śmiertelna tzn. S_n + I_n + Rh = N - stała wielkość całej populacji,

%¹ = (1 ~P)^U,

U_n

gdzie p oznacza prawdopodobieństwo kontaktu chorego z podatnym,

= 1 - (1 -P)¹"-

Oznaczmy przez e~° liczbę 1 — p. Zapisać wzór na układ dynamiczny w M³ opisujący te zależności. Pokazać dodatnią niezmienniczość zbioru [0, oo)³, a także zbioru

K := {(S,/)€ R²: 5 > 0, / > 0, S + I<N)

względem układu zredukowanego do pierwszych dwóch współrzędnych. Zbadać ten układ. W szczególności poszukać warunków, przy których następuje wygaśnięcie epidemii.

26. Zbadać układ zadany w R² przez odwzorowanie

RH

r m

ML

5