0171

9 2. Pole i objętość

173

W ten sposób mamy

IPI - -

3 o²

cos³0

n/2

o

3a^ł

2

2 sin³0+cos²0

14) Rozwiązać powtórnie zadanie 6) posługując się współrzędnymi biegunowymi. Rozwiązanie. Wprowadząjąc współrzędne biegunowe otrzymujemy równanie elipsy w postaci

r² _--1-

A cos²0+2Rcos Osin 0+Csin²0

Wobec tego w myśl wzoru (9) dostajemy od razu [309, 9)]

ni 2

\P\ = ²'\ J

dd

A cos²0+2Rsin 0 cos 04sin²0    ]/AC—B²

Pole całej elipsy wyznaczyliśmy tu jako podwojone pole tej części elipsy, która leży w ćwiartkach I i IV. Jakie trudności napotkalibyśmy, gdybyśmy chcieli skorzystać z wyniku 10) z ustępu 288 do obliczenia całego pola elipsy?

15) Wzór (9) można przystosować do przypadku, kiedy krzywa dana jest równaniami parametrycznymi postaci (6). Ponieważ jest

'    x ²+y²

r¹ = x²-t-y\    0 = arc tg -Ł

x

więc

-■r²dO = ±_;(xy'-x'_ty)dt.

2 ' 2

Jeśli zmianie kąta 0 od a do /? odpowiada zmiana parametru / od t₀ do T, to

T    T

(14)    IPI = j f (xy'-x'_ty) dt — — f l9>(t)v'U)-9>’(Ov(t)]dt.

*0    ¹0

Dzięki większej symetrii wzór ten prowadzi często do prostszych obliczeń. Jeśli na przykład zastosujemy ten wzór do obliczenia pola elipsy, danej równaniami parametrycznymi x = a cos /, y = b sin /, to otrzymujemy

27?    27?

|P| = -j/ (ucos t-bcos t+a sin t-b sin t)dt — -jab J dt — nab.

O    O

16) Posługując się wzorem (14) obliczymy jeszcze pole asteroidy x = a cos³/, y = a sin³/. Mamy

tu

27?

|P| = y / (« cos³/ • 3a sin²/ cos Z+3a cos²/ sin / ■ a sin³/) dt —

* o

xn

— —a² ( sin²/ cos²/ dt — a² It— — sin 4/\|^27T = — u a² .

2 J    16 V 4 /o 8

O

340. Definicja i własności pojęcia objętości. Podobnie jak w ustępie 335, wychodząc z pojęcia wielokąta, wprowadziliśmy pojęcie pola dowolnej figury płaskiej, tak teraz opierając się na pojęciu objętości wielościanu zdefiniujemy objętość bryły.

Niech więc będzie dana bryła V dowolnego kształtu, tzn. obszar ograniczony domknięty w przestrzeni trójwymiarowej. Brzegiem S tej bryły niech będzie powierzchnia zamkniętą (^x) (lub kilka takich powierzchni).

1

Mamy na myśli powierzchnię ciągłą, którą można przedstawić równaniami parametrycznymi.