023 (19)

Graniastostupy]

(*) a = d'!2 cos a

W ten sposób możemy już obliczyć pole podstawy P = a² = (dii cos a)² P_p = 2(P cos² a

Teraz obliczamy wysokość graniastoslupa, korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym DCD'.

DC = a, CD' = d, DD' = li

h² + a² = d²    .    ...    ,    .

podstawiamy obliczone a z równania (*) i otrzymujemy:

hi² = (P-a² h² = d²- 2cFcos²a h² = d² (1 - 2cos’aj /i = <H 1 - 2cos²«

Zatem, po podstawieniu wszystkich danych do wzoru na objętość graniastoslupa, otrzymujemy następujący rezultat:

V=P ■ h,P = 2d² • cos²a

V=2d^! cos²a ■ rfVl - 2cos^:a = 2d^s cos² <Wl - 2cos^:«

Odpowiedź

Objętość graniastoslupa wynosi V=2d^l cos² arVl - 2cos²a [/*].

ZADANIE 5_

Przekątne sąsiednich ścian poprowadzone z jednego wierzchołka graniastoslupa prawidłowego trójkątnego tworzą kąt o mierze 2a. Oblicz objętość grania-stosłupa, jeżeli wiesz, że długość krawędzi jego podstawy jest równa a.

c

Rozwiązanie:

Dane: 2a, a Szukane: V

23