049

3.21 Urćetc, pro ktere hodnoty realneho parametru p maj i rovnice realne, resp. imaginarni koreny:

a)    x² - 2(p + 4)x + p² 4- 6p = 0

b)    px² + 2(p - l)x + p - 5 = 0

3.22 V mnozine C reśte rovnice:

a)    (x² + 3x + ó) (x² + 3x + 6) (a:² + 3x + 7) = 0

b)    (x² + 4) (a;² — i) = 0

3.23 V mnozine C reśte rovnice:

a)

<0

x + 1    ^a: + 3_j

x + 2    x + 4

l+x 1 — a: _ x 1 — a: 1 + z 1 — x²

b)

x + i x — 2i

x + 3 x + 2i

= 1 + 3i

3.24    V mnozine C reśte rovnice:

a)    (x⁴ + 1)²+2(x⁴ + 1) - 8 = 0

b)    (x³ - l)² + (x³ + l)² = 0

c)    (x + l)⁴ = 81x⁴

d)    16x⁴ = (x - l)⁴

3.25    V mnozine C reśte rovnice:

a) a:² + 18 - 6i\/lT = 0    b) x² - 4 - i = 0

c) x² + 6 + 8i = 0

3.26    Rozlożte v C v soućiny kvadraticke trojćleny:

a) x? + 4x 4-13    b) x² - 2x\/2 + 1

c) x² + (-2 + i)x — 2i    d) x² + 5 + 12i

3.27    V mnozine C reśte rovnice:

a) x⁴ - 4x³ + 6x² — 4x = 80 b) x³ + 3x² + 3x = 7

3.28    Urcete vśechna komplexni cisla, ktera splnuji soustavy rovnic:

a) x + y = — i    b) x + y — — i

x² +y² = — 1    x² + y² — 1

*3.29 Dokaż te, że plati: Je-li komplexm dslo 2 kofenem rovnice

a₀xⁿ + oi2^n_1 + a_n-\x + a_n = 0

s realnymi koeficienty ao, ai, a„, je jejim kofenem i dslo sdrużene z.

[Navod: Dosadte z do leve strany dane rovmce a vyużijte vlast-nosti cisel sdrużenych; dostanete dslo

a₀zⁿ + aizⁿ~^l + ... + a_n-iz + o„.

coż je ćislo sdrużene s fisiem

aoZⁿ + 0)2^n_1 + ... + a_n-\z + a_n = 0. ]

*3.30 V mnożine C reśte rovnici x⁴ — 2x³ + 3x² — 2x + 2 — 0, vite-li, że ma koren X\ — i.

[Navod: Podle predchozi ulohy ma dana rovnice take koren x₂ —xT — —i; delcmm jeji leve strany soućinem (x — i)(x + i) = = x² + 1 dostaneme rovnici kvadratickou.]

97