Str006 (3)

fl Wstęp

Wykładu algebry (dotyczącego rozszerzeń ciał i ciał skończonych) czy elementarnej teorii liczb (omawiającego fcongruencje), może uznać ten wstępny wykład za zbyt skondensowany i wtedy powinien poszukać szczegółów w bardziej przystępnych podręcznikach. Natomiast ktoś, kto ma większe doświadczenie matematyczne, będzie mógł prawdopodobnie tylko przerzucić te pierwsze dwa rozdziały, co najwyżej próbując rozwiązać raniej znane ćwiczenia.

W zależności od przygotowania studentów powinno być możliwe wyłożenie większości materiału zawartego w pierwszych pięciu rozdziałach książki w ciągu jednego semestru. Alternatywnie, jeśli ta książka jest wykorzystywana w trakcie semestralnego wykładu elementarnej teorii liczb, to rozdziały 3-6 mogą wypełnić wykład w następnym semestrze.

Zależność rozdziałów przedstawia się następująco (jeśli pominiemy pewne nieistotne odwołania do wcześniejszych rozdziałów w rozdziałach 5 i 6):

Rozdział 1

Rozdział 2

Rozdział 3 Rozdział S Rozdział 6

Rozdział 4

Książka ta jest oparta na wykładach prowadzonych na University of Washington w Seattie w roku 1985/86 oraz w Instytucie Nauk Matematycznych (Madras, Indie) w roku 1987. Chciałbym podziękować tu Gary Nelsonowi i Douglasowi Lindowi za przeczytanie rękopisu i wprowadzenie bardzo pomocnych poprawek.

Rysunek na stronie tytułowej został wykonany przez profesora A. T. Fomienkę z Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego, by zilustrować temat tej książki. Proszę zwrócić uwagę na to, że zakodowane cyfry dziesiętne wzdłuż ścian budynku nie są przypadkowe.

Ta książka jest dedykowana pamięci studentów Wietnamu, Nikaragui i Salwadoru, którzy oddali życie w walce przeciwko agresji Stanów Zjednoczonych. Honoraria autorskie pochodzące ze sprzedaży tej książki będą przeznaczone na zakup książek z matematyki i z nauk przyrodniczych dla uniwersytetów i instytutów naukowych tych trzech krajów.

Seattie, maj 1987 r.

Wstęp

do drugiego wydania

Ponieważ kryptografia, jako dziedzina badań, stale rozwija się przez wprowadzanie nowych pojęć i metod, rozszerzają się również kryptograficzne zastosowania teorii liczb. Oprócz elementarnej i analitycznej teorii liczb zastosowanie znajduje algebraiczna teoria liczb (testy pierwszości, w których korzysta się z sum Gaussa i Jacobiego, systemy kryptograficzne oparte na ciałach kwadratowych, sita ciał liczbowych) oraz arytmetyczna geometria algebraiczna (faktoryzacja za pomocą krzywych eliptycznych, systemy kryptograficzne oparte na krzywych eliptycznych i hipereliptycznych, testy pierwszości, w których stosuje się krzywe eliptyczne i rozmaitości abelowe). Niektóre z najnowszych zastosowań teorii liczb w kryptografii - zwłaszcza metoda faktoryzacji dużych liczb za pomocą sita ciał liczbowych, wynaleziona po ukazaniu się pierwszego wydania - wykracza poza zakres tej książki. Jednakże niewiele tylko zwiększając wielkość książki, można umieścić w niej pewne nowe tematy, w pełniejszy sposób ukazujące różnorodność zastosowań teorii liczb w tej fascynującej interdyscyplinarnej dziedzinie badań.

Następująca lista wskazuje główne zmiany w drugim wydaniu.

•    Wprowadzono pewne poprawki i wyjaśnienia, dodano wiele nowych pozycji w bibliografiach.

•    Do rozdziału 4 dodano podrozdział o dowodach o zerowej wiedzy (ang. zero-knowledge proofs) i przekazach nierozróżnialnych (ang. oblwious transfer).

•    Do rozdziału 5 dodano podrozdział o metodzie faktoryzacji za pomocą sita ciał kwadratowych.

•    Do rozdziału 6 dodano podrozdział o zastosowaniach krzywych eliptycznych do testowania pierwszości.

•    Wprowadzono też krótkie wzmianki o następujących pojęciach: schematy A:-progowe, szyfrowanie probabilistyczne, funkcje skrótu, system kryptograficzny Chora-Rivesta oparty na pakowaniu plecaka, nowy standard szyfrowania danych (ang. Digital Signature Standard) rządu Stanów Zjednoczonych.