Strona2 (2)

1° różnym punktom (u, ») obszaru jednospójncgo^ odpowiadają przy przekształceniu (1.5) różne punkty (.t, y, z) powierzchni S,

2° funkcje (1.5) są ciągle Wobszarze A i na jego brzegu,

3° pierwsze pochodne cząstkowe funkcji (1.5) są ciągle i ograniczone w tym obszarze, 4° nie wszystkie podwyznaczniki stopnia drugiego macierzy:

dx	Ił	dz
Bu	dii	Oli
8x	dy_	dz
dv	dv	dv .

(1.6)

znikają jednocześnie w całym obszarze A.

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja F(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S o równaniach (1.5), to całka powierzchniowa (1.3) istnieje i wyraża się wzorem:

l(1.7)

I.

gdzie:

I t (1.8)

są odpowiednimi pod wy znacznikami macierzy (1.6).

Uwaga 3. Kładąc wc wzorach (1.4) i (1.7) F(x, y, z) = 1, otrzymujemy odpowiednio wzory:

(1.9)

(110)

ii dS - S J V\ +fl (x, j) +// (x,y) dx dy.

5 5 dS = J J /A² + J3> + C¹ dudv,

określające pole płata S (por. wzór (8.2), T. I, rozdz. 12.8).

Uwaga 4. Dla powierzchni materialnej S o gęstości ciągłej p(x, y, z) dla (x, y, z)eS za pomocą całek powierzchniowych niezorientowanych określone są wielkości następujące: .

1° masę m powierzchni S:

(1.11)

m = $ j p (w, y, z) dS,

2° momenty statyczne: M_}7,    M_x, powierzchni' 5 względem płaszczyzn Oyz,

Ozx, Oxy.

(1.12) M_r, = $ $ xp(x,y, z)dS_J M_x: = ($ yp(x,y,z)dS, M„ = $ \ zp(x,y,z)dS,

(1.13)

ni

Vry

ni

4° momenty bezwładności J_x. J_f, J, powierzchni S względem osi Ox, Oy, Oz:

^ = $}'Cv² +-²) Kr, >•,-•) rtt,

s

(1.14)    /, =H(:^: + r)^, }'.2)dS,

S

J,=\\(x² +y'-)p(x,y,:)dS, s

5° moment bezwładności J_xy, J_f., J._x powierzchni S względem płaszczyzn Oxy, Oy?, 0:x:

(1.15)    Ą, =JJzV(v,J’^)^. JjM~l\x*P(x.y.s)dS, = \ \ y'p (.r, y, 2) JS,

s    s    s

6° moment bezwładności J_u powierzchni S względem początku układu współrzęd- • nych:

(1.16)    J₀ = (5 (*² -h y* + ;^:) p (*, y, -) JS,

s

7° potencjał warstwy pojedynczej rozpostartej na powierzchni S w punkcie A —

— A (i,, tj, C), nie leżącym na S, o masie jednostkowej:

(117)    «(?,'/. 0 = (J P{x, y, a) — ,

s    r

gdzie:

r = /(.v — ć)^J -f 0* — r/)² -r- (z — O²,

^sj

S° składowe .V, 5', Z wzdłuż osi 0.v, Oy, Oz siły, z jaką masa jednostkowa umieszczona w punkcie A przyciąga powierzchnię materialną 5':

X~\\ p(r, y, z)-~-JS, s‘    ^r

(1 1S)    y= ((/<r,ż-.’)ę-(/S,

*5

Z = \\Q(x,y,_:)^<lS.

ZADANI K PRZYKŁADOWE

Zad2nie 1.1. Obliczyć:    ^N »

t

\J(V- r y² + z^:) dS,

89