Image15 (32)

28

3.21. Dowieść, że kwant światła wysyłany z prędkością c przez gwiazdę poruszającą się w kierunku Ziemi z prędkością Fzbliża się do Ziemi z prędkością c, a nie c + K

3.22. Za pomocą relatywistycznego prawa dodawania prędkości wyprowadzić wzór na prędkość rozchodzenia się światła w ośrodku o współczynniku załamania n, poruszającym się z prędkością v w kierunku zgodnym z ruchem światła.

3.23. Pręt szklany o długości L = 0,5 [m] porusza się z prędkością V = 30 [m/s]. Światło porusza się wzdłuż pręta raz w kierunku jego ruchu, a raz w kierunku przeciwnym. Wyznaczyć różnicę czasów przechodzenia światła przez pręt w obu tych przypadkach (n = 1,5).

3.24. Jaka różnica dróg optycznych powstaje między dwoma promieniami, z których jeden biegnie wewnątrz rury z wodą płynąca z prędkością 3 [m/s] w kierunku prądu, a drugi wewnątrz tej samej rury w kierunku przeciwnym. Długość drogi każdego z promieni w wodzie / = 2 [m], n = 1,333, a X = 450 [nm].

3.25. W teorii rozszerzającego się wszechświata przyjmuje się, że im bardziej jest oddalona jakaś galaktyka, tym większa jest jej prędkość oddalania się (tzw. prędkość ucieczki). Prędkość ta została opisana wzorem V = ar, gdzie r - odległość galaktyki, a - stała równa 3 • 10 ¹⁸ [s *]. Spektroskopowe badanie światła pewnej galaktyki ujawniło obecność linii o długości fali X = 5,347 • 10“¹⁰ [m], którą zidentyfikowano jako linię wodoru, której w warunkach laboratoryjnych na Ziemi odpowiada długość fali X_Q — 4,861 • 10 “¹⁰ [m]. Jaka jest prędkość ucieczki tej galaktyki i jak daleko się ona znajduje?

3.26.    Osie dwu układów współrzędnych są wzajemnie równoległe. Układ U' porusza się z prędkością V względem układu U, przy czym wektor prędkości względnej układów jest równoległy do osi x. Wyprowadzić wzór transformujący przyspieszenia z jednego układu do drugiego.

3.27.    Z Ziemi wystartowała rakieta kosmiczna i podąża w kierunku gwiazdy Proxima Centaura. Jest to gwiazda położona najbliżej Układu Słonecznego w odległości / = 4 • 10¹³ [km]. Po opuszczeniu atmosfery ziemskiej rakieta przez cały czas zwiększa swoją prędkość, przy czym przyspieszenie ruchu mierzone przez załogę rakiety było stałe i wynosiło a'. Po jak długim czasie (również mierzonym przez załogę) rakieta dotrze do gwiazdy. Jak długi będzie ten czas dla obserwatora ze stacji kontroli lotów na Ziemi?

3.28. Obserwator znajdujący się w układzie U' dokonuje pomiaru kątów trójkąta spoczywającego w układzie U. Jaka będzie suma kątów w trójkącie zmierzona przez tego obserwatora?

3.29. Badany przedmiot jest w układzie własnym kulą o małym promieniu R. Przedmiot ten porusza się względem laboratorium w kierunku + x z prędkością v = 0,5 c. Określić jego kształt:

a)    stwierdzony przez zespół obserwatorów w układzie laboratoryjnym,

b)    otrzymany na fotografii zrobionej w układzie laboratoryjnym.

4. DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

4.1.    Rozkładając siłę na składowe: prostopadłą i równoległą do prędkości pokazać, że przy dużych prędkościach wektor przyspieszenia nie jest równoległy do wektora siły.

4.2.    Masa protonu jest równa 1,67 • 10“²⁷ [kg]. W układzie własnym protonu (w którym w pewnej chwili proton jest w spoczynku) działa nań siła (1,67 r + 1,67 £') • 1(T⁹ [N],

a.    Znaleźć przyspieszenie protonu w tym układzie.

b.    Obliczyć kąt między siłą i przyspieszeniem protonu w tym układzie.

4.3.    Proton, którego ruch opisany został w poprzednim zadaniu, porusza się względem układu U z prędkością v = 0,98 c i.

a.    Znaleźć siłę działającą na proton w układzie U.

b.    Znaleźć przyspieszenie protonu w układzie U.

c.    Obliczyć kąt między siłą i przyspieszeniem protonu w tym układzie.

4.4.    Cząstka o masie spoczynkowej m porusza się tak, że w każdym

momencie jej położenie określone jest równaniem x = yf b^z -f c² t² — b. Znaleźć siłę działającą na cząstkę.

4.5.    Pociąg towarowy, którego całkowita masa spoczynkowa wynosi m = 10⁶ [kg], jedzie z prędkością v = 60 [km/h]. Obliczyć relatywistyczny przyrost masy pociągu.