Image37 (16)

72

2 ia)'

sińcu £.

W polu sił Hooke’a ciało drga sinusoidalnie wokół położenia równowagi Okres tych drgań znajdziemy z warunku

cuT

stąd

T =

2n

cu

= 2 n

b. O oscylatorze harmonicznym tłumionym mówimy wówczas, gdy oprócz siły typu Hooke’a F₁ = —kx istnieje siła F₂ tłumiąca ruch. Na ogół zakłada się, że siła tłumiąca jest proporcjonalna do prędkości lub kwadratu prędkości i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu.

Rozpatrzmy ruch jednowymiarowy w ośrodku lepkim, gdzie F₂ = —bx (b - stała dodatnia). Równanie Newtona przyjmuje wtedy postać

x + 2cr x + co²x = 0,

gdzie dokonano standardowych podstawień

b

m

— 2a,

k

m

= cu²

Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu, liniowe jednorodne. Rozwiązując je, podobnie jak równanie oscylatora harmonicznego nietłumionego, mamy

+ C₂ e

Przyjmując warunki początkowe

dostajemy

C_x =

2 yj a

Co =    —

O

O)

2 yj a² —

CO

Rozwiązanie ogólne równania ruchu przybiera więc postać

yj

— o* — o² t

yj O² —

CO

2

lub inaczej

x =

\A² -

sinh (^Ar²

co² r)

co

Zauważmy, że w zależności od tego

O (tzw.

aperiodyczny), czy a² —

— co² przybiera odpowiednio wartość rzeczywistą lub urojoną. W pierwszym przypadku, odpowiadającemu dużemu oporowi ośrodka, następuje tylko jednorazowe wychylenie z położenia równowagi (rys. 18). Ruch taki nazywamy pełzającym.

Przy małej lepkości ośrodka, tzn. gdy

co

czy — przypadek

co² > O (tzw. przypadek periodyczny), pierwiastek

o

co

\A² -

co

— i yfco² — o

Wtedy rozwiązanie równania ruchu można przepisać jeszcze raz w formie

x — A

e hj m² ~^al _ _e - it J oi* - a*

li

= A sin (t yjco² — a²),

gdzie:

A =

— Ot

yj co² — a

przedstawia malejącą wykładniczo ampUtudę ruchu (rys. 19)