Image47 (12)

92

2.33. Pole, w którym znajduje się cząstka jest zachowawcze, wobec tego

E_k + E_p(x) = const = 0

gdzie E_k jest energią kinetyczną, a

E_p(x) = m A(e~^2ax —

jest energią potencjalną rozważanej cząstki. Ma

- mv 2

-m A(e~^2ax - 2e~^ax),

wobec tego prędkość cząstki

v = sflA    - e~^2ax .

Z tego równania znajduje

II

równanie ruchu cząstki, podstawiając

Letodą rozdzielenia zmiennych. Tak

i całkując otrzymane równanie różniczkowe więc

z lewej strony

Mnożąc licznik i mianownik w wyrażeniu podcałkowy: równania przez e?* otrzymujemy

Stąd po scałkowaniu mamy

— \J~2A • t T C,

gdzie C jest stałą związaną z wyborem warunków początkowych.

Przyjmujemy następujące warunki początkowe ruchu cząstki:

t = t_ot v = 0, x = x₉.

Współrzędną x₀ punktu, w którym cząstka spoczywa, znajdujemy z równania

_e~^axo — _e~^2axo

v = 0 = JlA Jl

skąd

— - ln 2. a

Podstawiając tak wybrane warunki początkowe otrzymujemy szukaną stałą w postaci

C = -y/2A

Wobec tego

O

yfle^ax - i = a JlA (

i po prostych przekształceniach mamy

x =

- In

a

\ + Aa² (t

- U

2.34. Funkcja Lagrange’a przyjmuje dla tego przypadku postać

L = E_k - E =

~ m (i² + y²)

mg y

Z rys.28 wynika, że z

II

ienne x i y nie są niezależne, bowiem

y = x tga,

• •

y = x tg a.

Układ ma jeden stopień swobody, obierając więc x jako współrzędną uogólnioną otrzymujemy