Image47

2.33. Pole, w którym znajduje się cząstka jest zachowawcze, wobec tego

E_k -f E_p(x) = const = 0

gdzie E_k jest energią kinetyczną, a

E_p(x) = m A(e~^2ax - 2e~^ax) jest energią potencjalną rozważanej cząstki. Mamy stąd

- mv^{1 2} — —m A (e ^2ax — 2e ^ar),

wobec tego prędkość cząstki

v = JlA yf2e “^x - e~^2ax .

Z tego równania znajdujemy równanie ruchu cząstki, podstawiając

dx

dt

z lewej strony

Mnożąc licznik i mianownik w wyrażeniu podcałkowy: równania przez e™ otrzymujemy

Stąd po scałkowaniu mamy

gdzie C jest stałą związaną z wyborem warunków początkowych.

Przyjmujemy następujące warunki początkowe ruchu cząstki:

t = t_ot v = 0, x = x₀.

Współrzędną x₀ punktu, w którym cząstka spoczywa, znajdujemy z równania

e~^axo - e~^2axo

V = 0 = yf

skąd

=

— - ln 2. a

Podstawiając tak wybrane warunki początkowe otrzymujemy szukaną stałą w postaci

C = - y/2A t₀.

Wobec tego

v/2e“ - 1 = a sJlA (t - O

i po prostych przekształceniach mamy

^ + A(t

- O

II

2.34. Funkcja Lagrange^ła przyj

uje dla tego przypadku postać

=

~ m (x² + y²)

mg y

Z rys.28 wynika, że zmienne x i y nie są niezależne, bowiem

y = x tga,

y = x tg a.

Układ ma jeden stopień swobody, obierając więc x jako współrzędną uogólnioną otrzymujemy

etodą rozdzielenia zmiennych. Tak

1

całkując otrzymane równanie różniczkowe

2

więc