str252

252 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

struna znajduje się w spoczynku i jest odchylona od położenia równowagi. Funkcja /(x) (patrz rys. 4.11) opisuje położenie struny w chwili t = 0

252 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

(1)

/« =

X ^2U°J	dla	0
^20°(^l-l)	dla

Wyznaczyć funkcję u(x, t) opisującą drgania struny dia />0.

Rozwiązanie. Funkcja u(x, t) spełnia równanie fali płaskiej, zwane również równaniem struny

d²u _ 1 d²u

⁽²⁾    d?~V²~di’

gdzie v jest prędkością fali w strunie

(a — naprężenie w strunie, q — gęstość liniowa struny), ponadto funkcja w(x, /) spełnia następujące warunki graniczne:

(3)    «(x,0) = /(x) dla 0 <x<l,

\

gdzie f{x) jest funkcją określoną przez reakcję (1)

(4)    (^)_f=o ⁼ ° ^d'^a    °^<X</’

(5)    u (0, t) = u (l, t) = 0    dla t > 0.

Poszukujemy ciągu rozwiązań u„(x, t) równania (2) w postaci

(6)

^un(^x > 0 ⁼ X„(x) T„(t) .

Funkcje X„(x) i T_n{t) dobieramy w ten sposób, ażeby funkcja u„(x, t) spełniała równanie (2). Obliczamy zatem pochodne funkcji (6)

x:t„