img014 (48)

19

: -11 etapu eliminacji w przód

>:ę. że a[_k O. Równanie o numerze k przekształconego w poprzednich iu równań jest mnożone kolejno przez współczynnik

_fl(*)

/ - ^lk ‘^ik ~ Jfl

dla i = k +1, k + 2, n,

(2.14)

a

kk

^: tr.e stronami od równania o numerze i układu równań otrzymanego w kroku k -

tęt s.ę w wyniku równoważny wyjściowemu układ równań A^{h^^] ■ x = b ^u postaci

J¹). _r , JO . _x ,J0._{r +} ...,J0._r _a(0]

fljl X_x+a^2 *2^+a13 ^x3 ^{+ +a}l« ^x;? ^—

,(2).

^22

x₂ + a

(2) .

23

₃(³)

•*33

X, +•

. _{+ fl}(2)._x _ /,(2)

+ ^a2n ^xn - °2

(3).v =A.(³)

■^x3+-" + ^a3» '^x« =^b.

J*+0 •r +•

“i + U + 1 ^xi+l ⁺

. ₊ J*+0._{X =} a(*+0

⁺ “fc+l,w    ^A:+l

(2.15)

⁺    _l_____L_fl(^{i + l})._X _a(* + 0

“n,it+l ^xi+l ^{+    +a}ł?,« ^xn ~ °n

* którym w kroku pierwszym wyeliminowano zmienną X\ ze wszystkich równań oprócz r er.s szego, w kroku drugim - zmienną x₂ ze wszystkich równań oprócz pierwszego i drugiego iw kroku k zmienną x_k ze wszystkich równań oprócz pierwszych k równań ukła-±_l Jeżeli a$ = 0, to algorytm wymaga dodatkowych kroków związanych z przenumero-

a ar.iem równań i ewentualnie zmiennych tak, aby można było zrealizować dzielenie określaj ące współczynniki l_ik , i = k +1, k + 2 , ■ ■ ■, n .

Po wykonaniu n - 1 kroków eliminacji w przód otrzymuje się następujący, równoważny danemu układ równań o macierzy współczynników A⁽ⁿ\ mającej postać macierzy trój-kątnej górnej

a[j' • x, + ■ x2 + «i3 • x3 + •
0.^2 ' ^x2 + ^aZi ‘ ^X3 ^+ ‘ ‘	• + a^(2)-x ^+a2n ^Xn	-w	* .	(2.16)
	aW.x ^nn	=b^(:\

Na drugi etap algorytmu eliminacji Gaussa składa się n kroków podstawienia wstecz. W wyniku otrzymuje się wektor rozwiązania danego układu równań (2.1), (2.3).

Etap podstawiania wstecz

Krok 1

Z ostatniego równania układu równań (2.16) wyznacza się liczbę

(2.17)

= 6M/aM

^un / “nn ’