img065 (22)

70

równania. Zapewnienie tych właściwości wiąże się ze zwiększonym nakładem obliczeniowym związanym z koniecznością wyznaczenia w każdym kroku iteracji macierzy Jacobie-go funkcjiyb) występującej w danym równaniu (3.77).

Jak nietrudno zauważyć przyjęcie macierzy funkcyjnej M(-) w postaci macierzy J(•)

odwrotnej do macierzy Jacobiego odwzorowania/(•) w punktach, w których det Jf(x) * 0 i przy spełnieniu tego warunku dla x e ker/(-) zapewnia, że w punktach x e ker/(-) pochodna odwzorowania F(-): R" a x —» x - J/\x) ■ fix) występującego po prawej stronie równania (3.112), zakłada się tu dwukrotną różniczkowalność/(■), jest odwzorowaniem tożsamościowo równym zero (macierz Jacobiego J_F (jc) jest dla każdego punktu x* e ker /[•) macierzą zerową). Przy założeniu ciągłości w punktach x* e ker /(•) (funkcja fi-) jest tam z założenia klasy C¹) tak otrzymanego odwzorowania F(-) zapewnia to, że F(-) jest odwzorowaniem zwężającym w pewnym otoczeniu każdego z punktów jc* e ker_/(■), i że jest odwzorowaniem w te otoczenia. Stąd już natychmiast wynika zbieżność ciągów itero-wanych do punktów będących punktami stałymi odwzorowania F(-), dla każdego punktu początkowego położonego w odpowiednio małym otoczeniu danego punktu stałego. Zbiór punktów stałych, zdefiniowanego w metodzie Newtona-Raphsona odwzorowania F(-), jest przy tym identyczny ze zbiorem ker/(■) rozwiązań danego równania^) = 0.

Takie jest właśnie pełne uzasadnienie zastosowania przekształcenia danego równania (3.77) w metodzie Newtona-Raphsona do postaci równoważnej (3.112), odpowiadającej realizacji algorytmu iteracji prostej. Odwzorowanie F(-) staje się w punktach ,v e kcr/(-) odwzorowaniem maksymalnie zwężającym i w otoczenie, w którym jest zwężające.

Twierdzenie 3.7 [8]

Niech dane będzie równanie (3.77). Zakłada się, że funkcja_/(-) występująca w równaniu jest różniczkowalna w sensie mocnym (Frecheta) [15] w pewnym otoczeniu punktu jc będącego rozwiązaniem równania. Zakłada się ponadto, że pochodna/'(■) funkcji_/(-) jest ciągła w punkcie jc*, i że f'(x) jest odwzorowaniem nieosobliwym (to znaczy, det J/(x‘) * 0).

Wówczas punkt .v jest punktem granicznym ciągów iterowanych otrzymanych zgodnie z formułą rekurencyjną (3.96), (3.97) algorytmu Newtona-Raphsona, dla wszystkich punktów początkowych dla iteracji położonych w pewnym otoczeniu punktu jc*.

Ponadto, jeżeli odwzorowanie jc —>f(x) spełnia w otoczeniu punktu jc* warunek Lip-schitza ze stałą Lipschitza L > 0, to znaczy, jeżeli zachodzi

jj_f(x)-J_f (jc*)|| < L ■ ||.v - JC*||    (3.113)

dla wszystkich jc w pewnym otoczeniu punktu .v*, gdzie || • || jest dowolną normą w R” równoważną standardowej normie pierwiastkowej, natomiast |\Jj(x) - J^(jc*)|| jest normą macierzy //(jc) - Jpc ) odpowiadającą ustalonej normie || • || w R”, to algorytm Newtona-Raphsona ma szybkość zbieżności kwadratową, to znaczy

|jc_M-jc‘|<ę-|jc_w-jc*| , £ = 0,1,2,-",    (3.114)

gdzie Cjest stałą dodatnią, której wartość można oszacować jako równą