P3200281

142

04. Znaleźć na osi OY punkt (lub punkty), którego odległość od każdej z płaszczyzn z + 2jr-z + l=0, 2*-jr+z-5 = 0 jest taka sama.

Jeżeli P(xo,VoiZo) leży na osi OY, to P(0,jo,0). Korzystając ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny, mamy

*(/>,„,) = |0 + 2»—0+11 _ gfctit

VI + 4 + 1    VŚ

d(P a) - — ~⁹⁰ = £ ~ £i _ I ~ l» ~ ⁵1 _ jgo-rój

V4 +TTT    V6    \/6

Wyznaczone odległości mają być równe, stąd

|2ifo + l| lito + 5| _lrt .    ,    ...

i²*»+n = i»>+si *

=» (2po + 1 = ito + 5 V 2yo +1 — —(jb + 5)).

Po = 4 V 2po +1 = - jto - 5 3jto = “6 / : 3

ito — “2

Odp.: Zadane warunki spełniają punkty Pj (0,4,0), P₂(0, —2,0).

G5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej przecięcia się płaszczyzny x-2y + 4z-3 = 0z płaszczyzną 0XZ.

Prosta przecięcia się dwóch płaszczyzn leży w obu płaszczyznach, więc ich wektory normalne N\, N₂ są prostopadłe do tej prostej. Szukana płaszczyzna

ma być prostopadła do wspomnianej wektorów Ni, Ń₂.

¹    > =>• iVj||a A iV₂||a

N₂±l)

Ni = [1, —2,4] - wektor normalny płaszczyzny z — 2y + 4z — 3 = 0 N₂ = [0,1,0] - wektor normalny .płaszczyzny OXZ (jest to wersor osi OY; równanie płaszczyzny OX Z ma postać y = 0)

prostej, zatem ma być równoległa do

Równania parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt Po(O.O.O) i równoległej do wektorów = [1, -2,4], ,V₂[0.1,0] są następujące

f¹⁼*

( |= -2t +1 , gdzie t,s € i.

I »*«

Równanie ogólne znajdziemy analogicznie jak w zadania G3.

I *|

-2 4 = -4-?+0 J+l-k = [-4,0,1]

1 0|

Ń = [-4,0,1];

a : —4x + i = 0

Odp.: Szukane równanie płaszczyzny ma postać -4x + z = 0.

G6. Przez prostą będącą krawędzią płaszczyzn z + 5y + z = 0,

z — i + 4 = 0 poprowadzić płaszczyznę tworzącą kąt J z płaszczyzną x—4y—8z+12 = 0.

Z pęku płaszczyzn o danej krawędzi należy wybrać tę płaszczyznę, która tworzy kąt J (a tym samym kąt - — J = jr) z płaszczyzną x — 4y — 8i + 12 = 0. Równanie pęku jest następujące

Ai(x + 5y + x) + A₂(x - i + 4) = 0,

gdzie Aj, A₂ są liczbami, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Zatem dowolna płaszczyzna należąca do pęku ma równanie postaci

(Aj + Aj)z + 5Ajy + (Aj — Aj)i + 4A₂ = 0.

Możemy teraz obliczyć iloczyn skalarny wektorów ff i , gdzie

Ń = [Au + A₂,5A!, Ai - A₂]

Ń\ = [1, —4, —8] - wektor normalny płaszczyzny z — 4y — 8z +12 = 0.

Ń o Ń! = (Ai + A₂) -1 + 5A_X - (-4) + (Ai - A₂) • (-8) =

= Ai + A₂ — 20Aj — 8Aj + 8A₂ =

= —27A_X + 9A₂ = -9 • (3Ai - Ao)