S6300975

p_ZyK«®

V P«y^kła<’, _zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:

dla x ^ 1, dla x = 1;

■ ' WEL , jS.jt

i——r aia x f i,    u\ r \ ii

1

a; sin - dla x ^ 0, x

0 dla x = 0;

|X-1|    *») $(*) * L*J*>

d) p(x) = je£L. ^tKł sgn (x - 3)

1

Rozwiązanie

ponkcja / jest ciągła w punkcie xo, jeżeli spełnia warunek lim /(x) = / (xo) •

a) Funkcja / jest określona wzorem:

/(*) =

---— dla x < 1,

8-1

1    dla x = 1,

8—1

dla x > 1

—x² dla x < 1, 1 dla x=l, 8² dla 8 > 1.

Funkcja / jest ciągła na przedziałach (—oo, 1), (1, oo), bo jest tam funkcją elementarną. Ciągłość funkcji w punkcie xo = 1 zbadamy z definicji. Mamy

lim /(x) == — lim x² = — 1

X-*l~    X—*1~

oraz

lim f(x) ==== lim x² = 1.

*-+X+    a-*l+

Zatem lim f(x) nie istnieje, co oznacza, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie xo = 1.

*-*i

b) Funkcja g jest określona wzorem: g(x) = k dla k ^ x < k + 1, gdzie k € Z. Funkcja ta jest ciągła na każdym przedziale postaci (fc, k +1), bo jest tam funkcją stałą Ciągłość funkcji w punktach 8o = k, gdzie k € Z, zbadamy z definicji. Niech punkt k € Z będzie ustalony. Wtedy

g{x) =

A: — 1 dla k — 1 ^ 8 < k_t k dla k ^ 8 < k +1,

Stąd

lim g(x) ==== lim (k — 1) — (k — 1), lim g(x) === lim k = k.

z—*k~    x-+k~    x~*k+

Zatem funkcja g nie jest ciągła w punktach xo — k, gdzie k 6 Z. Ostatecznie funkcja ^ jest ciągła na zbiorze R \ Z .

c) Funkcja h jest ciągła na przedziałach (—oo, 0), (0, oo), bo jest tam funkcją elementarną. Ciągłość funkcji A w punkcie xo — 0 zbadamy korzystając z definicji. Mamy