22903

4. Zbadać ciągłość następujących funkcji:

dla (x,y)*(0.0). 0 dla (x, y) = (0,0);

dla {x,y)    (0,0),

dla (z, y) = (0.0);

dla (x, y) / (0,0), dla (x, y) = (0,0);

dla    (a;, y) ^ (0,0),

dla    (x,y) = (0,0);

5. Niech (X_i,d_i) (* = 1,...,n) będą przestrżeniami metrycznymi. W zbiorze X = X\ x ... x X_n wprowadzamy metrykę d przyjmując, że dla i = (i₁,...,x„)eX.{/ = (j/_lv..,y_n)6X mamy

Niech następnie (Y, dy) będzie przestrzenią metryczną. Załóżmy, że funkcje fi : Y —> A, (i = 1,,n) są ciągle na Y. Pokazać, że funkcja f(v) = (fi(y)...../»(//)) jest ciągła na Y.

6. Niech (A'. d\) oraz (Y. dy) będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech f : X -* Y będzie daną funkcją. Załóżmy, że {U_t}ter jest fundamentalnym układem otoczeń ustalonego punkty xo € A, zaś {V*},€S jest fimdamentalnym układem otoczeń punktu f(xo). Pokazać, że

/ jest ciągła w x₀ <=> Vs € S3t € T : f (U_t) C V„.

7. Obliczyć pochodne cząstkowe funckji z = z(x, y) określonych poniższymi wzorami:

j) z = xy(?^ln{TXV\ k) z = xsm²{x + y²), l) z = aresin

\Jx² + y²