s104 105

104

19.    x = t², y = t - it³, t e [0, \/3]

20.    x = t, y = 2^, t e [0,1]

21. x = 2t-t², y = 4 — t³, te [0,1]

22. x — Rcost, y = Rsint, R > 0, t e [0,

Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu dookoła osi OY zadanych krzywych:

23.    y = 2\/x, 0 < x < 1    24. y = (2x - l)², 0 < y < 1

25.    y = e^J’, e < y < e²

Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu dookoła osi OX obszarów ograniczonych liniami:

26.    y = e^x, y = 0, * = 1, x — 2    27. y = a:+2sinx, y — x, 0 < x < tt

O    2

28. y = x + 1, y = 3x — 1    29. y = sinx, y = —x

7T 7r

30.    y = sina:, y — sin 2x, 0 < x < —

U

31.    Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru zawartego między liniami: y = x + e^x~², y = 0, x = 0 i styczną do krzywej y — x + e^x~² w punkcie P(2,3).

32.    Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej

x

V = -7=7’ ^x > ⁰ ye-'

dookoła jej asymptoty.

Odpowiedzi

1.	7T(f	+ #)	2.	7r(l —	f)
3.	7r(e -	-2)	4.	1(1-	e~^2)
5.	TT^2 3 a		6.	TT 10
7.	7T		8.	7r(3e^4	+ 1)
9.		- ł-^2 - 1)	10.	t(l"	g-27T
11.		+ #-l)	12.		-*]
13.	fln2		14.	TT In 3
15.	— 7T^3 64		16.	7r

17

' 3>/3

18. Y^rTrab²

19. fTT

Ol 2133 _

²¹- W* 23. |tt

20. §7r

22. fTri?³

24. fir

W zadaniu 23, V = tt f₀ fgdy, bo y(l) = 2, j/(0) = 0, oraz x =

Ji—

25. 7r(2e² - e) 27. 6tt² 29. fi

31. 71(11 + ^

26. f(e⁴ -e²)

28. ffTT

3^1,

16

32. 27t; j/ = 0 jest r. asymptoty

2.4.4. Pola powierzchni brył obrotowych

Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej:

1.    y = \/ i?² — x², 7? > 0

2. x = t², y = t-~t³, t e [0,\/3]

O

Rozwiązania

1. Wiadomo, że pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót krzyi y = r/(ai) > 0, a; 6 [a, 6] dookoła osi Ox jest dane wzorem

r^b    _

A — 2n y(x)y/l + [y'(x))²dx J a

przy założeniu, że funkcja y ma ciągłą pochodną. Zauważmy, że funkcja y jest określona dla x € [-R, R]. Obliczmy pochodną

y' =    . ²_...... =    . ^x , xe{-R,R).

^y 2VR°- - X² VR² - X²

Mamy zatem

.4    4

•/o

-f -=■——7rdx = 47r/? / dx = 47ri?ⁱ. li¹ — .7;^