skanuj0003 (397)

331

Ćwiczenie 42

Dla ciała przedstawionego na powyższym rysunku znany moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez jego środek masy (oś Z) wyraża się całką:

J_z— f (x² + y² ) dm    (42.4)

Wyrażenie x² + y\ określa kwadrat odległości elementu dm od osi Z.

Moment bezwładności względem osi obrotu Z' równoległej do osi Z i oddalonej od niej o d = yjx², + y² , gdzie współrzędne x_c iy_c określają położenie środka

masy rozpatrywanego ciała w nowym układzie współrzędnych związanym z osią Z' wyrazić można następująco:

J*_z = J (x² + y\) dm    (42.5)

Wyrażenie x\ + y\ określa odległość elementu dm od nowej osi Z⁺, pomiędzy współrzędnymi zachodzą następujące związki:

x₂ =    + x, y₂= y_c + y,    (42.6)

Podstawiając wzory (42.6) do (42.5), otrzymuje się wyrażenie:

J‘ = f (6;    +xd +(y_c+ y,)² )dm = f (x; +    + x; + y] + y_cy, + y:

(42.7)

dalej grupując wyrażenia

^Jl = f (^xi ⁺ y? )^dm+(^xc + x²)/ dm + 2x_cf x_]dm + 2y_cJ y_xdm (42.8)

W wyrażeniu (42.8) pierwsza całka (zgodnie z (42.4)) odpowiada momentowi bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy J_z. Z kolei ponieważ spełnione są zależności x²c + y²c = d² i J dm = M, druga całka w wyrażeniu (42.8) przyjmuje postać:

(x² + y²c)f dm = d² M    (42.9)

Natomiast dwie ostatnie całki w wyrażeniu (42.8) są równe zeru, gdyż spełniony jest warunek 42.3), tzn. położenie środka masy w układzie odniesienia związanym z os:^ Z określa wektor r_c = [ 0,0, O]. Reasumując, równanie (42.7)

przyjmuje ostatecznie postać:

J* = J.+ M d²    (42.10)

Zależne -Iii ^_ n-ierdzenie Steinera opisujące związek między

momentami hec - _: _cr: ser; I : J\.