s30 31

;io

Rozwiązanie

Wiadomo, że

₌ ,_im »(». + - »(*.)

Aj- — 0    A.T

pod warunkiem, że istnieje granica właściwa tego ilorazu. W naszym przypadku mamy

1/(1 + A*) - »(1)    (1 + As)¹ + 3(1 + A*) - 1 - 3

■(/ (1) - lun -j- = lun ----

Aj; —0    Ax    A.r—0    Ax

= lim

Aj—0

= lim

Aj—0

1 -P 3Ar -P 3(A:c)- -P (A.x*)‘^J -P 3 -P 3Aa; — 4

A.t

6 Aa; + 3(Aa;)² + (Ar)³

Aa;

6.

lim [6 + 3Ax + (Ar)²]

Aj:—»0

Obliczyć pochodne funkcji
2. y = (2x + l)^1	3. y =	</(3.c + 2)^7
4. y = (a;^2 + l)e“^2,:	5. y —	cos j;
		1 — sin a;
6. y — sin^1 2a; 4- In x	7. y =	arcsin(x^_>)

Rozwiązania

2. Funkcja ij jest. funkcją złożoną o postaci

y = z¹,    gdzie r = 2a: + 1.

Stosując twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej, mamy

, dy dy dz    ₂    , _y2

dx dz clx

, dy dy dz 7 dx dz dx o

21

21

ł3 = — (3x + 2)> = — y(3x + 2)². 0    o

4. Skorzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu:

[/(*).<7(*)]' = I'(*)g(x) + / (x)a'(x),

pod warunkiem, że pochodne /' oraz g' istnieją. Niech

f(x) = ar + 1, g(x) = e~^2r,

a wiec

f'(x) = 2x,    <j'(x) = —2e ^2j'.

Stąd mamy

y' = 2xe~^2x — 2(x² + l)e~’^J = 2e^-2*(a-- a:² - 1).

5. Tu skorzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu:

/ /WV _ f'(x)g(x) - g'{x)f(x)

\ <l(x))    <r {'■<:)

przy założeniu, że pochodne /', g' istnieją oraz g(x) ^ 0. W naszym przypadku funkcja y jest określona, gdy sina; ^ 1. Mamy więc

, _ — sin x(l — sin x) — cosa;(— cosx) — sin x + sin^-’ x + cos² x (1 — sina;)²    (1 — sin x)²

1 — sin x    1

(] — sin a:)²    1 — sin a;

(i. Funkcja y jest, określona, gdy x > 0. Najpierw policzmy pochodną funkcji V =• sin¹’ 2x. Funkcja ta jest funkcją złożoną. Przy oznaczeniach

u = 2x, z = sin w, mamy Y = Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej wynika

Y' =

dY

dx

dY dz du dz du dx

3z² (cos u) 2 = 6 sin² 2x cos 2x.

Stąd

y' = ¥' + (ln x)' = 6 sin² 2x cos 2x -f—. ³

d;//    dy d

(l.r    d d t

\n-x

a-€(-1,1).

1

Funkcje y można zapisać w równoważnej postaci y = (3a: + 2)«. Wprowadzając

2

oznaczenie z = 3x + 2, mamy y = z*

3

lii również skorzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, przyjmując z = ar, a więc y = ar es i n z. Wówczas