158 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA
Zadanie 4.6. Obliczyć splot fi(t)*f2(t), jeżeli /,(/) = /, f2{t) = cos/. Rozwiązanie. Zgodnie z definicją splotu mamy
f f 1
-/ * cos / — J(/ —x) cos z eh = t Jcosti/t— Jtcostć/t = o o o
= t [sin t]'o — [i sin r + cos t]'0 =
= /(sin/ —sin0)— (/sin/ + cos/ —0- sinO — cosO) =
= /sin/—/sin/—cosZ + 1 = 1 —cos/.
Ostatecznie mamy
Z* cos Z = 1—cos/.
Zadanie 4.7. Obliczyć splot /i(/)*/2(/), jeżeli /,(/) = /, /2(z) = e'. Rozwiązanie. Zgodnie z definicją splotu mamy
t*e' = f (/ — t) eTdx — t j erdx — J r erdx = / [e^y — \xer— eT]'0 = o oo
— t(e' — eo) — (te' — e‘ — 0- e° + e°) = te'— I — te' + e‘— 1 = e' — t— 1. Ostatecznie mamy
Zadanie 4.8. Wiedząc, że
/* e' = e'-(/+l). 5s
<*>00 =
(s2 + l)(s-l)
i stosując wzór (3.9) Borela o splocie wyznaczyć oryginał
5s
Rozwiązanie. Zgodnie z własnością 3, §3, wzór (3.9), w rozważanym przypadku mamy
Z tablicy transformacji Laplace’a, § 8, odczytujemy
(2) L~1 = 5 L~1 ^^ = 5e‘ (por. wiersz 2 dla a = 1),
(3) ^ = cos / (por. wiersz 3 dla a = 1).
Uwzględniając związki (2) i (3) w prawej stronie wzoru (1), mamy
L~1 [—• -^-1 = 5e‘ [_S-1 S +1J
* COS t.
Wyliczamy następnie (5) 5e' * cos / = 5
I
= 5<
Uwzględniając wzór (5) w p /(/)SL-
Zadanie 4.9. Wiedząc, że
metodą splotu wyznaczać or
Rozwiązanie. Zgodnie
Z tablic transformacji Lapla
(3) L
Uwzględniając związki (2) i
Uwzględniając wzór (5) w {
/