Str049 (2)

94 V Kłyplogrnfirt

pdy pomnożymy ic macierze w odwrotnej kolejności. Zatem macierz A nia macierz odwrotną daną tym samym wzorem co w przypadku liczb rzeczy wj. itych:

-D”'b\

[-D-'c D~ⁱa /

Przykład 1. Znajdźmy macierz odwrotną do macierzy A = (l _§³ W(Z/26Z).

Rozwiązanie. Mamy Z) = 2-8 — 3*7=—5 = 21 w Z/26Z. Ponieważ NWD{21,26) = 1, wyznacznik D ma element odwrotny, mianowicie 21 ~¹ = 5. Zatem

_    / 5-8 —5 • 3\ / 40 -15\    /14 11\

v ⁼ V-5 • 7    5 • 2/ ~ \—35 loy ^_ \17 10/

Sprawdzamy, że (jj ”)(* J) = (J“ [”) = (J J) ^Po“ ^ |

do czynienia z pierścieniem Z/26Z, używamy znaku równości dla oznaczenia przystawania modulo 26.

Macierz 2x2

o wyrazach z dowolnego pierścienia R, podobnie jak macierz o wyrazach rzeczywistych, może być pomnożona przez wektor gdzie x,yeR \ iloczynem

będzie nowy wektor f */^^:

a b c d

ax + by cx + dy /

To mnożenie macierzy przez wektor jest „przekształceniem liniowym”, co

oznacza

(/c X “f* ]c X \

.'^{1 1    22} ], gdzie Ig i k₂ nale-

"+ ^2^2/

żą do pierścienia R, są kombinacje liniowe

k_Łx [ + k₂x₂ %S- + k₂y'₂

. Jedyna różnica

_w stosunku do sytuacji opisanej wcześniej w naszym przeglądzie metod algebry liniowej polega na tym, że wszystko dzieje się teraz w pewnym pierścieniu R, _n|_C w zbiorze liczb rzeczywistych.

Będziemy chcieli zastosować to wszystko do naszego pierścienia H = %\N'L Następne twierdzenie jest sformułowane dla tego szczególnego przypadku, chociaż podobne twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego pierścienia R-

Twierdzenie 3.2.1. Niech

( * \

c dj ^MiCL/NZ) i niech D = ad -bc.

Wtedy następujące warunki są równoważne:

(i)NWD{D_tN)=\;

(b) A ma macierz odwrotną;

(c) jeśli x iy nie są jednocześnie równe zeru, to A f J ^

(d) A określa wzajemnie jednoznaczne przekształcenie (Z[NZ)² w siebie.

Dowód. Pokazaliśmy już implikację (a)=^(b). Wystarczy zatem dowieść, że (b) => (d) => (c) => (a).

Załóżmy, że zachodzi warunek (b). Wtedy zachodzi również (d), gdyż i^-1 określa przekształcenie odwrotne przeprowadzające wektor (    | na wek-

—■    W

pociąga za

tor

. Następnie, jeśli zachodzi (d), to nierówność [ M

77_ \l

sobą A j # A f y = ^ j, co oznacza, że zachodzi (c). Wreszcie dowodzimy

implikacji (c) => (a) pokazując, że z zaprzeczenia (a) wynika zaprzeczenie (c). Przypuśćmy więc, że zdanie (a) jest fałszywe i niech m = NWD(D, N) > 1 oraz m' = N/m. Możliwe są trzy przypadki.

Przypadek (i). Jeśli wszystkie wyrazy macierzy A są podzielne przez m,

to przyjmując

m

= (    , j, otrzymamy sprzeczność z (c).

Przypadek (ii). Jeśli a i b nie są jednocześnie podzielne przez m, to

__I .    [x\ f-bm'\

\y.

ani

przyjmujemy (    ) = (    . Wtedy

a b\(—bm' c d

am

-abm' + bam' -cbm' + dam'

0

Dm'

Ir

gdyż m|Z), a więc N= mm'\Dm'.