Scan0007 (3)

14 Funktory i formuły

1.4 Logiczna równoważność

Definicja 1.4 Dwie formuły A i B nazywamy logicznie równoważnymi, jeśli mają takie same wartości logiczne dla wszystkich interpretacji, co oznaczamy A = B.

Przykład 1.2 Rozpatrujemy dwie formuły:

A= ~ (p V q),

B = ~ p A ~ q.

Analizując wszystkie interpretacje

p	q	~ Cp ^v q)	~ p A ~ q	~(pVg)<ś=>~pA~<?
0	0	i	1	1
0	i	0	0	1
1	0	0	0	1
1	i	0	0	1

~ (p V g) = ~ p A ~ g.

stwierdzamy, że

Pojęcie logicznej równoważności umożliwia zastępowanie jednej formuły inną.

1.4.1 Równoważność i logiczna równoważność

Uwaga 1.2 Symbol = nie jest funktorem zdaniotwórczym, lecz jest to skrót wyrażenia ”jest logicznie równoważne”.

Mimo, że symbole = i nie oznaczają tego samego, to są ze sobą blisko związane.

Twierdzenie 1.2 A = B wtw, gdy we wszystkich interpretacjach wartością formuły A B jest 1 (mówimy wówczas, że formuła A <=> B jest tautologią).

Zgodnie z twierdzeniem, aby z par formuł logicznie równoważnych otrzymać zdania zawsze prawdziwe, wystarczy znak = zastąpić znakiem (patrz ostatnia kolumna tablicy w przykładzie 1.2).