Szacowanie niepewności pomiarów i metody obliczania niepewności pomiarowych Ocena niepewności przypadkowych
Wielokrotne niezależne pow tarzanie tego samego pomiaru fizycznego pozwala otrzymać serię wyników xlt x2, x3 .... x„ (gdzie n - oznacza liczbę wykonanych pomiarów).
Rzeczywista wartość wielkości fizycznej nie jest znana, ale najbardziej zbliżona do niej jest średnia arytmetyczna otrzymanych wyników x , obliczana ze wzoru:
1 *
Wyniki pomiarów układają się wokół wartości średniej arytmetycznej. Przy bardzo dużej liczbie pomiarów' («-»co) rozkład ten może być opisany funkcją, zwaną rozkładem Gaussa:
gdzie: f(x) - gęstość prawdopodobieństwa,
o - odchylenie standardowe, będące miarą niepewności pojedynczego wyniku pomiaru:
Miarą niepewności średniej arytmetycznej x jest jej niepewność standardowa:
a
n(n-l)
Rozkład prawdopodobieństwa Gaussa daje możliwość obliczenia prawdopodobieństwa, że dowolny wynik pomiaru znajduje się w zadanym przedziale wartości x, tj.:
400
/ \
3a 2c c x o 2o Ja
w przedziale:
(x-o, x + O) mieści się 68,27 % wyników, (x - 2ct, x + 2ct) mieści się 95,45 % wyników, (x - 3ct, x + 3a) mieści się 99,73 % wyników.
Krzywa Gaussa rozkładu niepewności przypadkowych (wartości liczbowe określają procentowe prawdopodobieństwa pojaw ienia się wyniku pomiaru w wyznaczonych przedziałach)
Szacowanie niepewności pomiarów i metody obliczania niepewności pomiarowych Przykład: ocena niepewności przypadkowych
Pomiar grubości płytki za pomocą mikrometru (dokonany n = 10 razy) dał wyniki:
* |
cl [liiIIII |
A-d |
(d - d )'- |
1 |
8,07 |
-0,068 |
4624-10’6 |
2 |
8,10 |
-0,038 |
1444 10 6 |
3 |
8,12 |
-0,018 |
324 106 |
4 |
8,17 |
+0,032 |
1024 10 6 |
5 |
8,14 |
+0,002 |
4-10* |
6 |
8,16 |
+0,022 |
484-10* |
7 |
8,17 |
+0,032 |
1024-10* |
8 |
8,13 |
-0,008 |
64-10* |
9 |
8,14 |
+0,002 |
4 10* |
10 |
8,18 |
+0,042 |
1764-10* |
!-l
Wartość średnia d :
n i=i
!-l
Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:
Niepewność standardowa średniej arytmetycznej:
Przedstawiony przykład pokazuje, że wykonując serię pomiarów wielkości fizycznej:
• obliczamy średnią arytmetyczną x, która jest najbardziej zbliżona do wartości rzeczywistej,
• jako niepewność oceny ii przyjmujemy wartość odchylenia standardowego średniej arytmetycznej Cs, która jest nazywana niepewnością standardową,
• wynik końcowy zapisujemy w postaci: x ±
W podanym przykładzie:
d = d ± 05
po zaokrągleniu: d = (8,14 i 0,01) min