P3200160

248 4. Analiza skupień

zależność będzie osiągnięta, gdy liczebności skoncentrują się wzdłuż dłuższej przekątnej. Liczba klas diagonalnych wyniesie min {r, s} i wówczas statystyka chi-kwadrat będzie równa n • min {(r — l);(s — 1)}, a (p² przyjmie wartość min{(r— l);(s — 1)}.

Powyższe omówienie nie wyczerpuje miar podobieństwa między zmiennymi nominalnymi. Pewne informacje na temat innych miar podają m.in. Goodman i Kruskal (1954) czy Anderberg (1973).

4.4.3.    Pomiar podobieństwa cech alternatywnych

W zakresie badania podobieństwa cech alternatywnych istnieje duża różnorodność. Podstawowym i najbardziej naturalnym punktem wyjścia do zdefiniowania miar podobieństwa jest tablica asocjacji, która jest szczególnym przypadkiem tablicy kontyngencyjnej. Badając więc określoną liczbę n obiektów, dane o występowaniu lub niewystępowaniu dwóch cech przedstawiamy w formie takiej właśnie tablicy. Jest ona identyczna z tablicą omówioną w punkcie 4.3.3, z tym że miejsce dwóch obiektów r i s zajmują dwie cechy alternatywne⁵⁷, zaś liczby w czterech głównych polach pochodzą ze zliczenia obiektów, u których realizują się różne kombinacje występowania i niewystępowania dwóch cech (1 — 1; 1 — 0; 0 - 1; 0 - 0). Liczby te oznaczamy literami a, b, c i d w układzie takim jak w tablicy

4.3.    Liczebności brzegowe są wyrażone sumami: a + b i c + d oraz a 4- c i b + d. Liczba obserwowanych obiektów (np. liczebność próby) wynosi n=*a + b+c + d.

Tablica 4.3. Schemat tablicy asocjacji dla obliczania wskaźników asocjacji cech

W yszczególnienie		Cecha B		Razem
		Występuje (1)	Nie występuje (0)
Cecha A	Występuje (1)	a	b	a + b
	Nie występuje (0)	c	A	c + d
Razem		a + c	b + d	a+b+c+d

Mając taką tablicę, możemy skopiować miary podobieństwa obiektów z punktu 4.3.3 i zastępując w nich p przez n wykorzystać jako miary podobieństwa cech. Ta odwracałność czy raczej dwufunkcyjność zarówno ujęcia danych, jak i miar jest szczególnie widoczna w badaniach ekologicznych.

Obok takiego podejścia do pomiaru podobieństwa można także korzystać z wyników badań teoretycznych nad współzależnością cech alternatywnych, przy czym kluczowym pojęciem jest tu asocjacja. Asocjacja, lub skojarzenie w węż-⁵⁷ Taką sytuację określamy mianem podwójnej dychotomii.

■ 58 ■

,_/yIn sensie , jest stopniem zależności między dwiema dychotomicznymi cc ’j,_ami w tablicy 2 X 2(zob. Kendall i Bucki and, 1975). Jeżeli cechy A i fi nie są mc ^eżne,^1:0 P^roP°rcje określone równaniami typu

(4.64)

a    b    a a + b

-s --- oraz---

d + c b+ a a + c n

nic

zachodzą i powiadamy, że cechy są skojarzone w określony sposób Jeżeli

a >

(a + b)(a + c)

n

(4.65)

jo cechy A i fi są skojarzone dodatnio, jeżeli zaś

(d + b){a + c)

a <

(4.66)

n

to są one skojarzone ujemnie.

Mówiąc inaczej, cechy A i B są skojarzone dodatnio tylko wtedy gdy poją wiają się łącznie (liczebność a) z większą częstotliwością niż należałoby lego oczekiwać, gdyby były one niezależne W przeciwnym przypadku będziemy mówili o skojarzeniu ujemnym (lub przeciwskojarzeniu) Abstrahując zaś od kie-runku skojarzenia, o skojarzeniu lub zależności cech zaświadcza nierówność

I (d + b)(d + c)

a

4.67

Opierając się na łącznym kryterium niezależności dwóch cech alternatywnych w tablicy asocjacji

ad = bc    (4.68)

zdefiniowano parę miar zależności, które można z powodzeniem wykorzystać jako miary podobieństwa cech. Są to miary typu korelacyjnego Należą do nich i Współczynnik asocjacji Yule a (ang coefficient of association)’

ad — bc ^^{ik =} ad+bc

(4.69)

Przyjmuje on wartości z przedziału - \ < Q _p < l przy czym wartość 0 przyjmuje wówczas, gdy cechy są niezależne (tj. gdy ad = bc). Wartość + 1 osiąga on, gdy bc = 0 i możemy wówczas mówić o skojarzeniu całkowitym dodatnim, na-

^M Skojarzenie w najogólniejszym znaczeniu jest to stopień zależności lub niezależności występujący między dwiema zmiennvmi losowymi ilościowymi lub jakościowymi (zob. Kendall i Buck land, 1975).

^w Współczynnik asocjacji Y ule a iest identyczny / późniejszym współczynnikiem y Goodmana iKruskala (1954), jako szczególny przypadek ogólniejszej miary asocjacji dla tablicy kontyngencyj nejrx t.