PC043392

I

I

$6

I.*

Przykład I?87

Po wyłączeniu czynnika x po lewej stronie równania Sar² - 5ar = 0 otrzymuj. *(3ar-5)=0. Ponieważ iloczyn dwóch czynników jest równy G, jeżeli choćjek z nich jest równy zero, otrzymujemy warunki ar = 0 łub Sar -5 =0, a stąd mag. zbiór rozwiązań równania postaci {0,-f}-

Przykład 1.88

Rozwiązując równanie x² - 9 = 0, wykorzystamy wzór'skróconego mnożeiĄ otrzymując równanie równoważne postaci (ar - 3) (ar + 3) = 0. Następnie, równując oba czynniki do zera, otrzymujemy a - 3 = 0 lub ar + 3 = 0 i dalejiś;: łuba=v3.

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych, czyli nierówności posu ei wr + bx -f*i> 0, <zr + bar + c >: 0, car + bx + c < 0 lub axr + bar -wr^Oifc n * 0, w głównej części oparte jest na wyznaczeniu rozwiązania równani; ar-+bar+c=0. Na podstawie informacji o liczbie i wartościach rozwiązań^ rżymy szkic wykresu trójmianu aar²+ba: + e, z którego następnie odczytuje* rozwiązania nierówności.

PRZYKŁAD 1.89

W celu rozwiązania nierówności 2ar-a:-3>0 wyznaczymy najpierwpierwasffi trójmianu 2Ż²-ar-3. Ponieważ 1, =1 -4 • 2 • (-3) = 25, czyli vA =5, otrzyma-jemy a, = 4=5-=-1 oraz ar₂    Wykonujemy teraz szkic wykresu funfaji

y-2r -x-3 (ilustracja 1.47) i widzimy,że2a² -x-3 >0 dla are (-oo,-1]u[|m|

ilustracja 1.47. Szkic wykresu funkcji y =5a3 -x—3

Przykład 1.90

Rozwiązując nierówność -X² -3x- 4 < 0, zauważamy, że wyróżnik równania -X² - Sx - 4 = 0 wynosi A = 9 - 16 = -7 < 0. Oznacza to, że równanie to nic ma rozwiązania. Ponieważ a - -1 < 0, ramiona paraboli skierowane są w dół (ilustracja 1.48).

Ilustracja 1.48. Szkic wykresu funkcji y = -x? - 3.v - 4

-2    -l    0    1

Z ilustracji odczytujemy, że nierówność -X² - 3x - 4 < Ospełniają wszystkie liczby rzeczywiste, tZn. xe R.

1.6.3. Funkcja wielomianowa

Definicja 1.72. Wielomianem W stopnia n jednej zmiennejxe R (funkcja wielomianową) na^wattty funkcję określoną wzorem:

W(x) =a^ⁿ +    +... + a_xx+<*0,    (llł)

igdzie we N, a₀, a_t,a„e^:R oraz a„ * 0.

Dziedziną funkcji (1.11) jest zbiór liczb rzeczywistych. Stale «©, «], .... a„ nazywamy współczynnikami wielomianu, przy czym a₀ określamy mianem wyrazu wolnego. Liczba naturalna n określa stopień wielomianu W.