s100 101

100

Obliczyć długości następujących łuków

100

1

1. y =    *), xe[-a,a\,a > 0

2. y = y/l — x² -f arccosx

3. y = \/x — x² + arcsin

4. y = ln(l — ar), xG [0,-]

5.y

x - 6 ix    _{M rtl}

3 V 2’ * ^€ ^

e^x + 1

7. y = ln ——-, x € [a,b], a > 0

e^x — 1

9. y = ^-(x² - 2 Ina;), a: €[1,2]

6. y = -\/(³ ~ ^x)³> a: G [0,4]

1 2

8. y = ln(sinx), x € [-7r, -7r]

10. y =

x² — 2

, x G [—\/2, y/2]

ii- y —

\/costdt, x€[-^,~]

x

12.    x = t, y — y/l — t², t G [0,1]

13.    okręgu: x = rcost, y = rsinż, r > 0, t G [0,27r]

14.    cykloidy: x = a(t — sinż), y = a(l — cos t), a > 0, ź G [0, 27r]

15.    x = R(cost + żsint), y = JR(sinf — t cos i), i? > 0, t G [0,7r]

16.    x = e^y sin ż, y — e^l cos t, t G [0, —]

17.    x = e^* cos    sin t, * € [0,27r]

18.    asteroidy: x = i? cos³ t, y = i?sin³ £, i? > 0, t G [0,27r]

19. x =

^³, y = t € [0,V3]

20.    a: = V3t², y = t-t³, <€[0,1]

♦    rrv ^ 1

21.    x = cos2ż, y = smt, te [0, —J

22.    p — R, R=const. > 0, cp G [0_}27r]

23.    kardioidy: p = a(l -f cos<p), a > 0

24.    p = a cos³ a > 0

25.    p = ay?, a > 0, </? G [0,1]

26.    p = ae^, a > 0, G [0, a], a > 0

Odpowiedzi

1. e^a — a ^a	2. 4
3. 2	4. — | + ln3
5. |(16 - 772)	f* 16 6. 3
7. a b + ln	8. In3
9. |(3 + łn4)	10. \/b -f- ln(v^2 + \/3)
W zadaniu nr 10, skorzystać r	ze wzoru
1 V x^2 + kdx =	\xy/x^2 + h + h\n\x + yjx^2 + k\ Z L	*+■ c
lub obliczyć tę całkę stosując twierdzenie o całkowaniu przez części.
11. 4	12. f
13. 2ivr	14. 8a
15. \n^2R	16. 72 (ef - 1)
17. ^ (e2V3, _ ^	18. 6R «
19- I	20. 2
21. Iv'l7+ §ln(4 + 7l7)	22. 27ri?
23. Sa	24. |7ra
25. f (^2 + ln(l + 72))	26. a\/2(e^a - 1)

2.4.3. Objętości brył obrotowych

Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej:

i-    y = -A=, x e [0,9]

ev³'

Rozwiązania

1. Obj ętość szukanej bryły jest dana wzorem

rb

V = 7r / y²(x)dx,

•/ a