18432 str154 (3)

154 3. PRZEKSZTAŁCENIE LA PLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

2° metoda residuów,

3° metoda polegająca na zastosowaniu wzoru Borela o splocie,

4° metoda polegająca na rozwinięciu obrazu w szereg Laurenta.

Metoda pośrednia znalezienia oryginału f(t), gdy znana jest jego transformata <P(s), polega na użyciu tablic transformacji Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji, do których sprowadzamy daną transformatę <P(s). Metoda residuów polega na zastosowaniu wzoru (3.6). Metoda 3° polega na zastosowaniu wzoru (3.9). Wreszcie metoda 4° polega na wykorzystaniu własności 4 z § 3. Zilustrujemy powyższe metody na przykładach.

Zadania przykładowe

Zadanie 4.1. Wiedząc, że 4>(s) = l/(r² + .s) znaleźć oryginał

m

znaleźć oryginał

Rozwiązanie. Funkcję

(1)

Biorąc po obu stronach wzoru mamy

' s‘

(2)

IT¹

(o

Rozwiązanie. Funkcję <P(s) rozkładamy na ułamki proste. Mamy wtedy

1 1 1

s² + s s S+1‘

Biorąc po obu stronach równości (1) przekształcenie odwrotne Laplace’a i stosując wzór (3.2), mamy

(2)	^Ł'V.)-
Z tablicy transformacji Laplace’a, § 8.
	./I \
(3)	^Ł (t)-
(4)

(por. wiersz 2 dla a = — 1). Uwzględniając równości (3) i (4) w prawej stronie wzoru (2), mamy

Ostatecznie szukany oryginał /(/) wyraża się wzorem:

/(O = l — e~^t.

Jednoznaczność otrzymanej funkcji /(/) zapewnia twierdzenie 1, § 3. Zadanie 4.2. Wiedząc, że

s²+s+l

<P(s) =    3

s +s

Z tablicy transformacji Lapk

(3)	17
(4)

Uwzględniając równości (

Ostatecznie szukany orygi

Jednoznaczność otrzymanej f Zadanie 4.3. Wiedząc, że

znaleźć

/(

Rozwiązanie. Przede w funkcji <P{s) sprowadzamy d'

Funkcję $(s) przedstawia

(1)

(s+Dl