45089 img469 (3)

I unkcja, której wykres przedstawiony jest na drugim rysunku na str. 106. ma jeszcze dwa ważne punkty. Jednym z nich jest x₀" O. Jeśli U(0) jest (dostatecznie matym) otoczeniem tego punktu, to dla każdego x e 1/(0) mamy /(*) ^ /(O). Powiemy teraz, że ta funkcja ma w tym punkcie minimum lokalne. Czy umiesz wskazać drugi punkt?

Analogicznie można zatem wprowadzić pojęcie minimum lokalnego funkcji.

DEFINICJA 2.

Niech funkcja / będzie określona w przedziale otwartym (a, b). Funkcja / ma w punkcie x₀ € (a, b) minimum lokalne, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U{x₀) (zawarte w tym przedziale) tego punktu, że:

A

xe(J(x₀)

/W >/(*o).

Jeśli A f(x) > /(x₀), gdzie S(x₀) jest pewnym sąsiedztwem punktu x₀, zawar-

xeS(x₀)

tym w przedziale (o, b), to funkcja / ma w punkcie x₀ minimum lokalne właściwe.

DEFINICJA 3.

Funkcja / ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne (właściwe), jeśli ma tam minimum lokalne (właściwe) albo maksimum lokalne (właściwe).

Okazuje się, że pochodna funkcji może służyć do znajdowania ekstremów funkcji. Omówimy teraz twierdzenia, które nam w tym pomogą.

TWIERDZENIE 4. (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji).

Jeżeli funkcja /, określona w pewnym otoczeniu punktu x₀, jest różniczkowal-na w tym punkcie i ma w nim ekstremum, to /'(x₀) = 0.

Dowód

Przeprowadzimy dowód tylko dla maksimum, ponieważ dla minimum jest on analogiczny.

Jeżeli funkcja / ma w punkcie x₀ maksimum, to znaczy to, że istnieje takie otoczenie U(x₀) punktu x₀, że dla każdego x e U(x₀) mamy

/(x) </(x₀).

Niech h będzie teraz liczbą taką, że h < 0 i x₀ + h e U. Wtedy

/(*o + h)ś f(x_Q)

(w ostatniej nierówności przyjmujemy x = x₀ + h). Zatem

/(xo + h) - /(xo) ^ h

(licznik ułamka jest niedodatni, a mianownik ujemny). Pociąga to za sobą nierówność

n_m /(«° ⁺ y-/w_a0i

h->o-    n

przy czym granica ta istnieje, gdyż funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₀, a więc ma tam pochodną lewostronną. Tak więc otrzymujemy w tym przypadku

/-(*o) - 0.

Jeżeli natomiast h > 0 i x₀ + h e l/(x₀), to wtedy znów

f{xo +    ^ /(x₀)

i tym razem

/(x₀ + h) - /(x₀)

h    -^u’

a więc

lim /(*o + ft)-/(*o)<₀ h^0+    h

czyli

/V(x₀) ^ 0.

Z założenia różniczkowalności funkcji w punkcie x₀ otrzymujemy /-(X₀) - /V(X₀) = /'(x₀).

Ostatecznie zatem mamy: 0 < /'(x₀) < 0, skąd wynika teza twierdzenia.

Istota tego twierdzenia polega na tym, że często korzysta się z jego równoważnej postaci, która mówi nam, że jeżeli funkcja / jest różniczkowalna w punkcie Xq i pochodna w tym punkcie nie jest równa zeru, to funkcja nie ma ekstremum w tym punkcie. A więc dla funkcji różniczkowalnej w punkcie x₀ warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w tym punkcie jest zerowanie się pochodnej funkcji w tym punkcie. Innymi słowy, funkcja różniczkowalna może mieć ekstremum tylko w takim punkcie, w którym pochodna tej funkcji jest równa zeru.