65680 P3200283

146

Ad G7.2)

( z = —2 +4t
<D >1 <D II at	. x — 7 y - 2 x -6 9 ~ 12
l x = 7 — 8*
Pi (-2,6,7)	Pa(7,2,0)
aj = [4, -6, —8] = 2 ■ [2, —3, -4]	oj = {-6,9,12] = -3 • [2, -3, -4]
lr= i| => ói = -|-02 =» ai||a2	h\V7

Proste l\, l₂ są równoległe. Sprawdzamy, czy się pokrywają. Czy np. punkt P₂ leży na prostej l\t

7= —2 + 4*
	2	Skoro | jć zatem układ
2 = 6-61 =>	'=3	jest sprzeczny.
0 = 7-8* =>	^ł-z	Proste nie pokrywają się.
	8

Proste li, l₂ są równoległe, więc d(li,l₂) = d(Pi,l₂) = d(P₂,li).

Jedną z metod obliczenia odległości punktu P2 od prostej l\ jest znalezienie płaszczyzny	O \
prostopadłej do prostej l\ i przechodzącej przez punkt P2 oraz znalezienie punktu Q	\
przecięcia prostej l\ z płaszczyzną; wówczas	p,
= d(p2,k) = |P2QI- ^V
Dla płaszczyzny przechodzącej przez punkt P2 *' p,	0
i prostopadłej do prostej l2 (więc i do prostej l2) mamy np. N = S\ — [4, -6, -8] oraz 4(x — 7) — 6(y — 2) — 8(z- 0) = 0 /:	2

2(x — 7) — Z(y — 2) — 4z = 0 2x - 3y - Az - 14 + 6 = 0 2z — Zy — 4z — 8 = 0.

Znajdźmy punkt Q - punkt wspólny wyznaczonej płaszczyzny i prostej 2* - 3jr - 4t - 8 = 0 x = -2 + 4I

9 — 6 — 6*

* = 7-8*

2(—2 + 4t) - 3(6 - 6t) - 4(7 - 8t) - 8 = 0 -4 + 8* -18+18*- 28 +32*- 8 = 0 58* = 58

lal =► i s i, | s 0, | a —1 •

Stąd 0(2.0. -1).

l*V0l = n/(2 - 7)* + (0-2)> + (-1 - O)² = \/25 + 4+1 = s/ŚO Odp.i d(/,,/_a) = n/ŚÓ.

Ad G7.3)

,    x-9 y + 2

^2 •

x y + 7 -2 “    9

z - 2 2

Pi(9,-2,0)    Ą(0,—7,2)

a, = [4, -3,1]    a₂ = [-2,9,2]

«i /łl Oj =>• /i j] /₂

Sprawdzimy, czy proste przecinają się, czy są skośne. KĄ = [-9,-5,2]

4    -3

(5i xa₂)oP_lP₇ =

= 72 + 54 + 10 + 81 + 40 - 12 ^ 0

-2    9

-9 -5

Proste , 1₂ są skośne.

Odległość między prostymi skośnymi możemy obliczyć, znajdując płaszczyznę o zawierającą prostą l\ i równoległą do prostej /₂; wówczas d(/x,/₂) = d(P₂,a).