65703 Rozdział II Funkcje trygonometryczne Zad 3 145

133.    Oblicz bez użycia tablic:

a)    cos 20° • cos 40° • cos 80°,

b)    tg²15°+tg²45°+tg²75⁰.

134.    Wykaż, że dla każdego kąta a prawdziwe są równości:

a)    cos⁴a—sin⁴a = cos2a,

b)    4sin⁴a+sin²2a = 4sin²a.

135.    Wykaż, że jeśli tg(a+/3) = 3tga, to sin (2a + 2/3) +sin 2a = 2 sin 2/3.

136.    Wykaż, że jeśli kąty ostre a i /? spełniają jednocześnie warunki 3sin²a+2sin²/3 = 1 i 3 sin 2a—2 sin 2/3 = 0, to a+2/3 = 90°.

137.    Wykaż, że przy określonych założeniach (jakich?) prawdziwe są równości:

a)

b)

c)

d)

sin 2a

cos a

l+cos2a 1 + cosa 1

cos2a,

1+tg a* tg 2a

1    + 2tga—tg²a cos2a+sin2a

2    sina—sin2a

a

= tg—, & 2 ’

cos²a ’ „ a

tg²—,

2.

2sina+sin2a

cos a—cos 3a

e) tg 2a =    -:-,

sm3a—sina

l+tg²(4o°+a)    1

f)

tg²(4o°+a)—1 sin2a *

g)

Ł)

cr.    a

cos---Sili —

2    2    1

a    a    cos a

cos—[~sm —

2    2

cos (45°+a)    1

-tg a,

1

cos(45°—a) a

cos 2a

i) tg 30°+- -tg 30°

138. Z układu

| tg (a++) = a \ tg(a-y) = 6

ctg2a ’

2 cos a—1 2cosa+l

wyruguj a.

131). Wykaż, że jeśli cc i /? są kątami ostrymi takimi, że a < 45° i (i < 45° lub a > 45° i /? > 45°, to cos (a—/?) > sin(a-f-/?).

110. W trójkącie równoramiennym 45(7 (4(7 = 50) z wierzchołka C poprowadzono 2 półproste dzielące <£ ACB na 3 przystające kąty. Półproste te przecinają podstawę iJ5 w punktach D i E

AD

~DE'

mając

tak, że D leży między A i E. Wyznacz stosunek

dany <£.4(75 = 3a.

141. W kwadracie ABCD punkt E jest środkiem boku CD. Proste BE i AC przecinają się w punkcie F.

Wykaż, że tg<£5G^,5 = 1, tg <£(755 = 2 i tg<£55(7 = 3..^.-

§ 6. Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych — zadania

142.    Przedstaw w postaci iloczynu następujące wyrażenia:

a) sin a+cos a,    f) cos²a—cos²/?,

b) sina—cosa,    g) sin²(a+/?)—sin²(a—/?),

c)    tga+ctga,    h) cos²(a—/?) — cos²(a-f/?),

d)    tg a—ctga,    i) tg²a—tg²/?,

e) sin²a—sin²/?,    j) ctg²a—ctg²/?.

143.    Przedstaw w postaci iloczynu następujące wyrażenia:

a) 1+sina,    d) l-j-2sina,    g) 1—tg²a,

b) l-|-cosa,    e) 1-j-tga,    h) l+ctg²a.

1    f) 1 —ctga,

c) --cosa,

144. Przedstaw w postaci iloczynu następujące wyrażenia:

a) sin a+sin 2a+sin 3a,    d) sina+sin/?+sin(a-j-/?)»

b)    cosa+cos2a+cos3a, e) 1+sina+cosa,

c)    1 — 2cosa+cos2a, f) sin a-}-tg a.

145. Wykaż, że jeśli a, /?, y są kątami trójkąta, to: sina+sin/?—siny    a    /?

^ sina+sin/?+siny    ^ 2    2 ’

.    a By

b) sina-f-sin/S-j-smy = 4 cos — cos — cos —,

2 2 2

3* 35