85603 zdjecie8

Wfc Dane s*i wielomiany M\) ■ 3x² ♦ 5x ♦ 2, BW) • 9x³    3x²    17x - 4 oruz

*'i\) ■ m\ | n. Dlii |nkt< h w mi ości współczynników m I n Wielomian IH.\) i C(x) Jest równy wielomianowi A(x) • C(x)7

13« Jakie Jednomlany można wstawić w miejsce liter A, B l C, aby zachodziła równożć wielomianów?

a) A(2x² 4x-H)-4x⁴4f - i4x³    b) A(9x² - 0x + 5) - H 4 2x^Ą 4 C

Rozkład wielomianu na czynniki

Ćwiczenie A. Wykona) mnożenie wielomianów.

h) - .U*(j- 2x *!»x}

b) - 3M2x ♦ 5)

Wiadomo, że w wyniku mnożenia wielomianów otrzymujemy pewien wlelorr Czasami można wykonać operacje odwrotną rozłożyć dany wielomian na c nlki. to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu Innych wielomianów.

przykłady

~¥ ®x*. - 3x^ł + IQx - 5 -

” 3x*(2x - l)+ S{2* - 1) • »(2x- lK3*^ł + 5)

c) (1 -2x+x³)(4x² - 3)

w każdym z zaznaczonych dwumianów tąc/amy wspólny czynnik przed nawias

wyłączamy wspólny czynnik (dwumian przed nawias

-♦ 5jr⁴ 4 £Qx* ♦ ^ + 4* -• 5x³(x ♦ 4) 4 x(x 4 4)-

- <x 4 4)(Sx^l 4 X) -- x(x 4 4)($x* 4 ||

w każdym ¹ poznaczonych dwumianów wy łączamy wspólny czynnik przed nawias wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x + 4) przed nawias w zaznaczonym dwumianie wyłączamy współ ny czynnik przed nawias

W poniższych przykładach pokazujemy, Jak można rozkładać wielomian na czynniki, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Obok przypominamy te wzory.

przykłady

-» x⁴ - 25 - (x² - 5)(x² + 5) *

-    (x - ,/5)(x + >/S)(x² f 5)

-» & A z 8xLrJ8x - Ł= -x³(x^z+x + l)-8(x^z + x + 1)«

(x² + X + l)(x³ - 8) -

-    (x² + x + 1 )(x - 2)(x² + 2x + 4)

-» x⁶ + 2x³ + 1 - (x³)² +2x³ + 1 -

-    (x³ + i )² - [(x + , )(x² -x+l)l²-" (x + l)²(x² - X + 1 )²

a¹ + 2ah i h‘ • (a t h)² a² - 2ab . b¹ • (a - bfi a^J - b² - (a - b){a * h) a’ + b¹ - (a + bHa² - ab * b²) a' - h‘ - (o - hHa² + ab + b²)

dwukrotnie stosujemy wzór

a³ - b* • [a- b)(a * b)

w każdym z zaznaczonych trójmianów wyłączamy wspólny czynnik przed nawias

wyłączamy wspólny czynnik (trójmlan x* + x + I) przed nawias

stosujemy wzór

a' - b* - (a- b)(a³ ♦ ab + b²) stosujemy wzór a³ + 2ab+b² »(a+b)³, a następnie wzór a¹ * b^l - (a♦ b){a³ -ab* b³)

Zauważ, że w przykładach na lej i na sąsiedniej stronie czynniki występiyące w rozkładzie wielomianu nie miały stopnia wyższego niż 2. Można sit* zastanawiać, czy dowolny wielomian da sit* rozłożyć na takie czynniki. Odpowiedź na to pytanie znano już w XVIII wieku:

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co ncywyżej drugiego.

z historii

Pierwszy' poprawny dowód powyższego twierdzenia podał Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Uważany Jest on, obok Ar-cliimcdc.su i Newtona, za Jednego z nąj-większych matematyków świata (zwany był nawet księciem matematyków). ZąJ-mował się prawie wszystkimi działami matematyki, a także fizyką I astronomią.

'twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki stopnia nąjwyż.ęj drugiego udowodnił w wieku 22 lat w swojej rozprawie doktorskiej. W tamtych czasach algebra była nauką o rozwiązywaniu równań, a dowiedzione przez Gaussa twierdzenie pozwoliło rozstrzygnąć wiele problemów dotyczących równań.