87961 Rozdział II Funkcje trygonometryczne Zad #3 245

233. Wyznacz rozwiązanie zawarte w przedziale <0; 2ti) każcie/ z podanych niżej nierówności:

a)    sin² a; < 1,

b)    cos² a; < 1,

c)    tg²# > 1,

d)    ctg²# > 3,

e)    |sin#| > |cos#|,

sin#

f)    ctg# < 2-

1 + cos# ’

sin #4- cos#

_g) ---> 0,

cos 2#

h)    sin³ x cos x—cos³ # sin # < —,

4

i)    cos4#+ 2cos²# ^ 1,

. 1    7

j)    — < 2+sm#—cos# < —,

2    2

k)    cos#*ctg2# ^ 0,

l)    sin³#— 4sin²#—sin#-j-4 ^ 0,

m) eos²#+cos³#+cos⁴#+

+ ... + < 1 + cos#.

234.    Dla jakich wartości parametru a, «e(0; 2n}, równanie 2#²—2(2cosa— l)#+2cos²a—5cosa+2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste ?

235. Dla każdej z podanych niżej par funkcji /(#) i g(x) wyznacz przedziały, w których /(#) < g{x) oraz kąt pod jakim przecinają się wykresy tych funkcji.

a)    f(^x) — sin#, g(x) — sin ^+~j ₅ # e <0; 2ti);

b)    /(#) = sin#, g(x) = cos#, # e <0; 2?r);

c)    f{x) = 1—ctg#, g(x) = tg#—1, # e <0; 2tz}.

e)    y = sin#-sin ^#——J, #e(0; ?r),

f)    y = cOS#*COS^—#V

# e (0; +,

g) 2/ = sili # • (1 — cos #), X e (0; +,

236.    Stosując rachunek pochodnych, wyznacz ekstremum funkcji: a) y — cos 2#, # e (0; 2n),

b)    y = — — sin#, #e(0; 2n),

c)    y — sin2#+cos2#,

# e (0; 2n),

x

d) ?/ =--cos#, #e(0; 2tz),

2    h) y = sin⁴#-+ cos⁴#, #e<0;7r>

-17. Wyznacz kąty trójkąta równoramiennego wiedząc, że odcinek dwusiecznej kąta przy podstawie zawarty w trójkącie ma długość 4\/3, zaś wysokość trójkąta opuszczona na jego ramię jest równa 6.

23S. W trójkącie równoramiennym między podstawą a trójkąta i dwiema nierównymi wysokościami h_v h₂ zachodzi związek: a² = =    Wyznacz kąty tego trójkąta.

23t). W rombie między bokiem a i przekątnymi p_v p₂ zachodzi związek: a² = Pi'P₂. Wyznacz kąty rombu.

210.    Wyznacz kąt ostry między przekątnymi prostokąta, w którym

4

stosunek obwodu do sumy długości przekątnych jest równy —.

3

211.    Na boku AB trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt M,

AM

że —— — k. Przez punkt M przeprowadzono prostą, która przecina bok AC w punkcie N i dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach, tworząc z bokiem AB kąt a.

a) Wyznacz ctg a;

71

3‘

b) Dobierz k tak, aby a =

242. Siła F jest sumą sił f_x i /₂ takich, że <£ (f_x, /₂) = 60° i f_x:/₂ = 2:3.

—> —>    ^    —>

Wyznacz kąty jakie tworzą siły f_x i /₂ z silą F.

—>    —y —>

213. Trzy siły f_v /₂, /₃ działające na ten sam punkt równoważą się, a ich wielkości są do siebie w stosunku 3:4:5. Wyznacz kąty utworzone przez każdą parę tych sił.

2 M. Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt D, że CD: DB >= 2:1. Oblicz:

a)    kąty D i <£DAB,

b)    stosunek promieni okręgów opisanych na trójkątach ACD i ABF.

215. Długość podstawy trójkąta równoramiennego jest równa 2, zaś długość odcinka dwusiecznej kąta przy podstawie zawartego

4* 51