89501 Obraz2 (125)

związek pierwotnego pojęcia ,.typ porządkowy” z relacją podobieństwa porządków (ponieważ liczba porządkowa jest szczególnym przypadkiem typu porządku, jest typem porządku dobrego). Wiemy też, że można przyporządkować każdej liczbie porządkowej dokładnie jedną liczbę kardynalną (moc dowolnego zbioru, który wraz z odpowiednio dobranym porządkiem tworzy model tej liczby porządkowej), ale nie na odwrót. Przyjmując aksjomat Zermeli dowodzi się wprawdzie, że każdy zbiór można uporządkować dobrze, ale różne takie uporządkowania tego samego zbioru mogą być różnego typu. Na przykład zbiór liczb całkowitych możemy uporządkować dobrze według schematu:

0, 1,-1, 2,-2, 3,-3.....

lub

0, 1,2,... ,-1,-2,-3, ...

co daje dobre porządki różnych typów, a więc różne liczby porządkowe, W tym przypadku więc liczba kardynalna nie wyznacza dokładnie jednej liczby porządkowej.

Wszystko to staje się prymitywne i banalne, gdy rozważa się wyłącznie zbiory skończone, bowiem dowolne dwa uporządkowania zbioru skończonego są dobre i podobne, zatem każda liczba naturalna - kardynalna wyznacza dokładnie jedną liczbę naturalną - porządkową i na odwrót. Zbiór wszystkich skończonych liczb kardynalnych i zbiór wszystkich skończonych liczb porządkowych są izomorficzne ze względu na działanie arytmetyczne i relację mniejszości. Z punktu widzenia tej ich struktury są one nierozróżnialne.

Jakkolwiek więc w nauce liczba naturalna-kardynalna i liczba na-turalna-porządkowa, to inne konstrukcje abstrakcyjne, w nauczaniu liczba naturalna formuje się w umyśle dziecka jako jedno pojęcie na gruncie syntezy dwóch relacji: 1° równoliczności zbiorów i 2° podobieństwa porządków; uświadomienie sobie przez dziecko tych relacji opiera się na wykonywanych przez nie: operacji wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania elementów jednego zbioru elementom drugiego zbioru, operacji porządkowania zbioru i odwzorowywania porządków. Dziecko ustala więc rów-noliczność zbiorów (na obrazku dziewczynki i lalki, żetony dwóch kolorów, różne przedmioty i kulki na liczydle itd.), wykonując manipulacyjne lub wizualnie przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne. Dziecko „odlicza”: jeden, dwa, trzy, cztery, ... elementy zbioru, porządkując ten zbiór. Synteza liczby naturalnej opiera się na uświadomieniu sobie przez dziecko, że „odli-

!czając” elementy dowolnego zbioru z rodziny równolicznych zbiorów, wymieni na końcu zawsze to samo słowo i na odwrót, że jeżeli „odliczanie” każdego z dwóch zbiorów kończy się na tym samym słowie, to są one rów-noliczne, a więc, że można ich elementy wymienić „jeden za jeden”, że można te zbiory jeden na drugi odwzorować wzajemnie jednoznacznie. Dziecko może umieć liczyć i porządkować zbiory przez odliczanie, ale może nie mieć jeszcze pojęcia liczby. Dopiero powiązanie takiego „liczenia” z „ilością”, staje się podstawą uformowania się liczby naturalnej z jej dwoma aspektami: kardynalnym i porządkowym. Mówimy tu tylko o podstawie tego pojęcia, bowiem ta synteza nie jest jednorazowym aktem, ale długim procesem stopniowego uświadamiania sobie całej struktury zbioru liczb naturalnych określonej przez działania i relację większości w tym zbiorze.

Analiza matematycznego materiału elementów arytmetyki ujawnia więc różne operacje tu występujące: przyporządkowywanie elementów dwóch zbiorów, sumowanie zbiorów, wyróżnianie w zbiorze podzbiorów, tworzenie iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, porządkowanie zbioru różnymi sposobami, odwzorowywanie zbioru na zbiór z zachowaniem porządku, transport porządku z jednego zbioru do drugiego itp.

Zgodnie z koncepcją czynnościowego nauczania matematyki nauka o liczbie powinna być poprzedzona przygotowaniem dziecka do tych abstrakcyjnych operacji przez ich interioryzację z konkretnych czynności, dla których te abstrakcje są pomyślanymi tylko elementami. Te czynności dziecko powinno wykonywać w zabawie i w toku rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym, a nie ilościowym. Tak obecnie organizuje się niektóre zajęcia dziecka w nowoczesnych przedszkolach. Konstruuje się w tym celu specjalne materiały, zestawy prostych przedmiotów porządkowane przez dzieci według różnych zasad, grupowane w zbiory z różnych punktów widzenia, klasyfikowanie, wzajemne przyporządkowywanie itp.

Jak to pokazali psychologowie zajmujący się myśleniem dzieci, te operacje są rezultatem długiego rozwoju myśli dziecka. Umiejętność wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania elementów dwóch konkretnych zbiorów za pomocą manipulacji (np. przez położenie na każdym żetonie

231