img037 (39)

42

Na tym rysunku ciąg kolejnych przybliżeń otrzymany zgodnie z formułą algorytmu siecznych jest rozbieżny, x_fk) -» -oo dla k -> oo. Punkt x jest tu pierwiastkiem równania^*) = 0.

Przy założeniu, że funkcja j{-) występująca w równaniu (3.1) jest klasy C², oraz że w zadanym przedziale [a, b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek danego równania (3.1), który jest pierwiastkiem pojedynczym, otrzymuje się następujący wzór przybliżony, określający dokładność z jaką wartość x_{k+V) otrzymana w kroku k + 1 iteracji przybliża wartość x pierwiastka równania

|x_(l)-x |

)

k = 0,1, 2,-

(3.31)

gdziep = ( 1 +y[5)/2 [7], Ze wzoru (3.31) wynika, że otrzymywany ciąg kolejnych przybliżeń jest w tym przypadku zawsze zbieżny do x* dla punktu x₍₁₎ odległego od x* w przybliżeniu o mniej niż 12/ '(**)// "(**) I • Liczba ta określa tzw. promień zbieżności algorytmu, lub inaczej - promień przyciągania dla iteracji przez pierwiastek równania, którego przybliżona wartość jest wyznaczana.

Z oszacowania

l^x(M^_x1=^a'l^A"w~^xT ’    (³-³²)

słusznego dla pierwiastka pojedynczego x danego równania, w którym a jest stałą dodatnią, natomiast p = (1 +41)12 wynika, że rząd zbieżności metody dany jest liczbą p = 1,6. To znaczy, błąd I x_(jh-i) - x* I w kolejnej iteracji o numerze k + 1 maleje z potęgą p = 1,6 błędu | x₍t) - x I w poprzedniej iteracji. Metoda siecznych jest zatem szybciej zbieżna niż metoda bisekcji, gdzie otrzymuje się zbieżność liniową.

Metoda siecznych ma bezpośrednie uogólnienie na przypadek wielowymiarowy układów równań algebraicznych. Należy ona, tak jak następna z omawianych metod występująca pod nazwą reguła falsi, do grupy metod interpolacyjnych.

3.1.3. Metoda reguła falsi [7, 8,19]

Nazwa reguła falsi pochodzi od słów łacińskich reguła - linia i falsus - fałszywy. Jest to w swojej istocie metoda „fałszywego” założenia liniowości funkcji /(•) występującej wdanym równaniu (3.1), którego rozwiązania są poszukiwane. Algorytm metody reguła falsi jest bardzo podobny do algorytmu metody siecznych. W każdym kolejnym kroku k+ 1 iteracji wykres funkcji/(•) jest aproksymowany sieczną przechodzącą przez punkt (X(_kj,J(x_{k))) wykresu i ten z punktów A(a,f[a)) lub B(b,J{b)), którego rzędna ma znak przeciwny niż J[x_(k)). Punkt x_(k) jest tak jak w metodzie siecznych punktem przecięcia z osią Ox siecznej określonej w kroku poprzednim o numerze k. Istotną różnicą jest to, że rzędne punktów końcowych odcinków siecznych otrzymywanych w kolejnych iteracjach są liczbami przeciwnego znaku. Dla zadanego odcinka [a, b], sieczna przecina zatem oś Ox zawsze w punkcie zawartym w przedziale (a, b). Ponadto jednym z punktów wyznaczających siecznąjest w każdej iteracji jeden z punktów A(a,J[a)) lub B(b,J[b)).