img061 (24)

66

Zakłada się, że Jf(x_{V)) jest macierzą nieosobliwą. Jako drugie przybliżenie pewnego odpowiadającego w granicy zadanej wartości początkowej jt₍₀) rozwiązania równania (3.77) przyjmuje się rozwiązanie równania

(3.91)

które aproksymuje równanie (3.77) z dokładnością do składników liniowych względem (x-*(!)). Przy założonej nieosobliwości macierzy //-(.v₍₁₎) z (3.91) otrzymuje się

(3.92)

i następnie

(3.93)

Wektor .v₍₂) drugiego przybliżenia poszukiwanego rozwiązania równania (3.77) zostaje przyjęty za wystarczająco dobre przybliżenie rozwiązania, jeżeli spełnione są warunki

(3.94)

(3.95)

*(2)-*(l)||<^e •

W tym przypadku obliczenia związane z poszukiwaniem rozwiązań zostają zakończone lub ustalany jest nowy punkt początkowy jc₍₀), w celu powtórzenia kolejnych działań algorytmu dla znalezienia innego niż już otrzymane rozwiązania równania (3.77).

Jeżeli nie jest spełniony jeden z warunków (3.94) lub (3.95), realizacja algorytmu jest kontynuowana w kolejnym kroku, tak jak opisano powyżej.

Jeżeli w wyniku realizacji określonej liczby kroków algorytmu stwierdza się brak zbieżności otrzymywanego ciągu at₍₀), jc_U), x_(k), kolejnych przybliżeń, ustalany jest ewentualnie nowy punkt początkowy dla iteracji i realizacja algorytmu jest wznawiana dla nowego punktu początkowego.

Z przedstawionego opisu wynika następujący wzór rekurencyjny dla algorytmu Newtona-Raphsona

k = 0,1, 2, •••

(3.96)

Wzór rekurencyjny (3.96) algorytmu Newtona-Raphsona można zapisać też w postaci

k = 0,1, 2, •••

(3.97)

która jest z obliczeniowego punktu widzenia korzystniejsza niż wzór (3.96), ponieważ numeryczne wyznaczanie macierzy odwrotnej J~) (x_(k>) w każdym kolejnym kroku k + 1