016 017

16

16

“2

*10

r-"i HH-* o o n w.	+1		;a , fv ^f*	. .'.S
|_log a	+ i	~ log 2 ■

: lim

a —-oo

Kolejna liczby naturalne w systemie dwójkowym mają postaó

<“>1Ó	(n)2	<“>10	(a)2
0	0	8	1000
1	01	9	1001
2	10	10	1010
3	11	11	■ 1011
.4	100	12	1100
5	101 .	13	1101
6	110	14	1110
7	111	15	1111

Na podstawie przedstawionego ciągu bardzo łatwo jest wyznaczyć algorytm tworzenia kolejnych liczb dwójkowych (patrz zadanie 2.12).

Algorytm zamiany liczb dziesiętnych na dwójkowe

Jeana z oczywistych metod wyrażania zadanej liczby w systemie dwójkowym, czyli wyznaczania współczynników we wzorze (1.3), polega na odejmowaniu od zadanej liczby, a następnie od otrzymywanych reszt, największych całkowitych potęg liczby 2 nie przekraczających zadanej liczby bądź kolejnej reszty.

Przykład 1.3

'Liczbę (1231,3125)₁₀ przedstawić w systemie dwójkowym.

0.3125    _?

-0.2500 = 2 ^ —a p = 1 0.0625    _4

-0.0625 = 2^ — a „ = 1

' fftOOO

Mamy więc

(1231,3125)₁₀ = (10011001111,0101)₂    #

Znacznie wygodniejsza jest metoda zamiany poprzez dzielenie i mnożenie, którą wyjaśnimy na kolejnym przykładzie.

Przykład 1.9

liczbę dziesiętną z przykładu 1.8 zamienić na dwójkową stosując metodę dzielenia 1 mnożenia.

1231

615

307

153

76

38

19

9

4

2

1

0

Cześć całkowita dzielimy kolejno

“1

^a2

^a3

Są

^ac

przez 2 i wypisujemy kolejne reszty. Otrzymany ciąg reszt jest zapisem dwójkowym zadanej liczby całkowitej.

= Sq

^ł10

Cześć ułamkowa mnożymy kolejno przez 2 i odrzucamy pojawiające się części całkowite. Otrzymany ciąg części całkowitych jest zapisem dwójkowym zadanego ułamka właściwego.

Mamy więc, jak poprzednio,

(1231,3125)₁₀ = (10011001111,0101)₂    **

Aby uzasadnić podany algorytm, przeprowadzimy następujące rozumowanie.

Przypuśćmy, że chcemy daną liczbę całkowitą a przedstawić w systemie dwójkowym, tzn. chcemy wyznaczyć współczynniki w rozwinięciu.

Vt

-3

-5

0 3 0 « 1 3 0 3 1 3 O

3125

6250

2500.

5000

0000

0000

Vi

= 2

^li ²ⁱ = ^ao

k

2^ai

i-i

2ⁱj

^ai^€ {°,1(

Dzieląc liczbę a przez 2 otrzymujemy)

a

2

~T ⁺

,1-1

liczba całkowita

Jeśli więc wynik dzielenia Jest liczbą całkowitą (liczba dzieli się bez reszty), to a_Q = 0, natomiast jeżeli wynik dzielenia jest liczbą ułamkową (reszta z dzielenia Jest równa jeden), to a₀ = 1. Po wykonaniu dzielenia odrzucamy część ułamkową wyniku, czyli człon a_Q/2 1 kontynuujemy dzielenie wyznaczając dalsze współczynniki a^,a2«... ltd.

Przedstawienie w systemie dwójkowym liczby a mniejszej od jedności polega na wyznaczeniu współczynników a_^ w rozwinięciu

^a = 2 ^a-i ^{2 1} = ~Tp~ ⁺ 2 ^a_i ^{2 Ł}» ^ai f (°»1 I i*1    i-i

FTrLiirm mnichu

CT i.^s

Al