016 017

16

Kolejna liczby naturalne w systemie dwójkowym mają postać

<“>10	(n)2	(n)lO	(a)2
0	0	8	1000
1	01	9	1001
2	10	10	1010
3 ’	11	11	' 1011
.4	100 ,	12	1100
5	101 .	13	1101
6	110	14	1110
7	111	15	1111

Na podstawie przedstawionego ciągu bardzo łatwo jest wyznaczyć algoryfcn tworzenia kolejnych liczb dwójkowych (patrz zadanie 2.12}.

Algorytm zamiany liczb dziesiętnych na dwójkowe

Jedna z oczywistych metod wyrażania zadanej liczby w systemie dwójkowym, czyli wyznaczania współczynników we wzorze (1.3), polega na odejmowaniu od zadanej liczby, a następnie od otrzymywanych reszt, największych całkowitych potęg liczby 2 nie przekraczających zadanej liczby bądź kolejnej reszty.

Przykład 1.3

■Liczbę (1231,3125)^q przedstawić w systemie dwójkowym.

1231 -1024

"557    ₇

-128 = 2' “75    ₆

-64 = 2°

~T5    ;

-8 = 2^ “7    ₂

-4 = 2^

10

0.3125    _?

-0.2500 = 2 ^ —- a p = 1

0.0fe2$    „

-0.0625 = 2^ — a = 1

■ siwo

Mamy więc

(1231,3125)₁₀ = (10011001111,0101)₂

Znacznie wygodniejsza jest metoda zamiany poprzez dzielenie i mnożenie, którą wyjaśnimy na kolejnym przykładzie.

Przykład. 1.9

Liczbę dziesiętną z przykładu 1.8 zamienić na dwójkową stosując metodę

dzielenia i mnożenia.

Cześć całkowitą dzielimy kolejno przez 2 i wypisujemy kolejne reszty Otrzymany ciąg reszt jest zapisem dwójkowym zadanej liczby całkowitej

1231

615

307

153

76

38

19

9

A

2

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

o

0

1

= a,

³ a2 = a₃

= aą

* ^a5 = ^a6 X B.J

~ ^a8 = a₉

= ^al0

0	3125
^a_1 X 0	6250
a_2 = 1	2500 -
^a_3 * ^0	5000
^a_ą = ^1	0000
^a-5 ^= ®	0000

Cześć ułamkowa mnożymy kolejno przez 2 i odrzucamy pojawiające się części całkowite. Otrzymany ciąg części całkowitych Jest zapisem dwójkowym zadanego ułamka właściwego.

Mamy więc, jak poprzednio,

(1231,3125)₁₀ = (10011001111,0101)₂

Aby uzasadnić podany algorytm, przeprowadzimy następujące rozumowanie. Przypuśćmy, że chcemy daną liczbę całkowitą a przedstawić w systemie dwójkowym, tzn. chcemy wyznaczyć współczynniki a^ w rozwinięciu.

k

= Z

^li ^{2    = a}o

k

Z¹

2¹;

Dzieląc liczbę a przez 2 otrzymujemy!

>1-1

a ^ao

2 = T

liczba całkowita

Jeśli więc wynik dzielenia Jest liczbą całkowitą (liczba dzieli się bez reszty), to a_Q = 0, natomiast jeżeli wynik dzielenia jest liczbą ułamkową (reszta z dzielenia jest równa jeden), to a_Q = 1. Po wykonaniu dzielenia odrzucamy część ułamkową wyniku, czyli człon a_Q/2 1 kontynuujemy dzielenie wyznaczając dalsze współczynniki a^ag,.*. itd.

Przedstawienie w systemie dwójkowym liczby a mniejszej od jedności polega na wyznaczeniu współczynników a_^ w rozwinięciu

oo    £    co

^{a =} 2 ^a-i ^{2 1 =} -i^{1 +} 2 ^a-i ^{2 a}i f J⁰'¹^

i-l    i-ż

F^LIMSKA : ZNICZU

CTi,=

AJ