3582445220

b) Ciąg liczb naturalnych dzielimy na ciąg A. którego wyrazami są kolejne liczby naturalne jedno- i dwucyfrowe, i ciąg B, którego wyrazami są pozostałe kolejne liczby naturalne. Ee wyrazów ma ciąg A,

a ile ciąg B?

3. Mam):a)0,181818... = 0,18+0,18-0,01+0,18-(0,Ol)² +

+0,18 (0,Ol)³ + ...

Przedstaw podobnie:

b)    0,77777...    e)    0,0434343...    h) 3,12475475475...

c)    0,212121...    f)    0,0008888...

d)    0,235235235...    g)    4,1313...

A. GRANICA CIĄGU

W § 19. C podaliśmy określenie 25 granicy funkcji w nieskończoności. Ponieważ ciąg jest funkcją, więc to określenie odnosi się również do ciągu, trzeba tylko zastąpić zmienną rzeczywistą przez zmienną naturalną. Przyjmujemy:

Określenie 38. Mówimy, że granicą ciągu (aj przy n dążącym do nieskończoności jest liczba g wtedy, gdy dla każdego otoczenia liczby g istnieje takie n₀, że wyrazy ciągu o wskaźnikach n > n₀ należą do tego otoczenia liczby g.

Zapisujemy: lim a_n = g.

n-+ao

Jak wiemy „każde otoczenie liczby g” znaczy „otoczenie liczby g o dowolnym promieniu e > 0”. Zdanie „a„ należy do otoczenia liczby g o promieniu e” znaczy, że g — e < a„ < g + s, czyli \a„ — g\ < e.

Możemy więc zapisać:

lim a_n = go A V A \a_n-g\ < e.

n^-*®    g>0 n₀ n>n₀

Przykład 1. Rozpatrzmy ciąg o wyrazie ogólnym ^an = ~;2 + 6* Wykażemy, że lim +    = 6 (por. przykł. 3, § 19. C) (rys. 84).

1

e

•a;

czbę nie mniejszą od - — 2, np. n₀

e

Dla e = 10“³ mamy n₀ = 10³, to znaczy, że wszystkie wyrazy ciągu począwszy od 1001-ego na pewno należą do otoczenia liczby 6 o promieniu 10 ~³.

Dla e = 10“⁶⁷ mamy n₀ = 10⁶⁷, to znaczy, że wszystkie wyrazy ciągu począwszy od 10⁶⁷-ego na pewno należą do otoczenia liczby 6 o promieniu 10“⁶⁷.

Przykład 2. Wykażemy, że lim ⁺⁴”^⁵ = 1.

W-+0O    ^”+0

W przykładzie 4, § 19. C udowodniliśmy, że lim    ⁼

Wyrazy naszego ciągu są szczególnymi wartościami tej funkcji (rys. 85). Stwierdziliśmy, że przy ustalonym e > 0,

!

i

233