8 (7)

133

Rodziny funkcji jednakowo ciągłych

Przypuśćmy, że istnieje ciąg rosnący liczb naturalnych {«»} taki, że ciąg {sinn*x} jest zbieżny dla każdego x e <0,2it}. Otrzymamy wtedy

lim (sin n*x— sin n_k+ jx) = 0    (0 ^ x < 2^1:

zatem

(40)

lim (sint^x—sinnm. _tx)² = 0    (0 < x ^ 2n).

Na podstawie twierdzenia Lebesgue’a o całkowaniu ograniczonego ciągu zbieżnego (twierdzenie 11.32), z (40) wynikałoby, że

(41)

lim j (sinn),x—sin«n _+tx)²dx = 0.

k-*cc o

Jednakże po łatwych rachunkach otrzymujemy, że

o

j (sin n_kx— sin n_k+,x)²dx = 2n,

co razem z (41) daje sprzeczność.

Następnym pytaniem jest, czy każdy ciąg zbieżny punktowo zawiera podciąg zbieżny jednostajnie. Następny nasz przykład pokaże, że tak może nie być, nawet gdy ciąg składa się z funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym i jest na nim jednostajnie ograniczony. (Przykład 7.6 pokazu je, że ciąg funkcji ograniczonych może być zbieżny, a nie być jednostajnie ograniczony; oczywiście jednak jednostajna zbieżność ciągu funkcji ograniczonych pociąga ich jednostajną ograniczoność.)

7.21. Przykład. Niech

Wtedy |/„(x)| < 1, więc ciąg {/„} jest jednostajnie ograniczony na <0,1). Poza tym

lim /„(x) = 0    (0 < x < 1),

ale

(« = 1,2,3,...),

więc żaden jego podciąg nie jest zbieżny jednostajnie na <0,1).

Pojęciem, które nabiera znaczenia w tym kontekście jest jednakowa ciągłość. Precyzuje je następująca definicja:

7.22. DEFINICJA. Rodzinę SF funkcji o wartościach zespolonych określonych na podzbiorze E przestrzeni metrycznej X nazywamy jednakowo ciągłą na E, jeżeli dla dowolnej liczby £ > 0 istnieje S > 0 taka, że d(x, y) < d dla xeE,yeE\fe!F pociąga