2567802545

Twierdzenie 2.18 (16). Niech H c C(J,E) będzie rodzinq funkcji silnie jednakowo ciągłych. Niech

H(t) = {h(t)eE:heH}, dla tej. Wtedy /?(//(/)) = sup    oraz funkcja t    fi(H(t)) jest ciągła

te]

na J.

Twierdzenie 2.19 (16). Załóżmy, że funkcja f:J x £?_Mq -» E spełnia następujące warunki:

(i)    ||/(t,x(t)|| < fei(0 + b₂(t)\\x(t)\\, dla każdej pary (t,x)e] x E,

(ii)    f (t,-) jest słabo - słabo ciągowo ciągła dla każdego tej,

(iii)    dla każdej silnie absolutnie ciągłej funkcji x:J -* E, funkcja f (■,*(■)) jest słabo ciągła,

(iv)    dla dowolnej niemalejącej funkcji Kamkego h zachodzi P(f(Jd x^0) ^ h(J3(X)), dla każdego zbioru ograniczonego X c E, oraz Id ^c /•

Wtedy istnieje przynajmniej jedno A-słabe rozwiązanie problemu (2.4) na pewnym przedziale Id c /• Warunek (iv) w twierdzeniu 2.19 może zostać zastąpiony ogólniejszym warunkiem np. Sadovskiego, Szufli [104] oraz miara niezwartości /? aksjomatyczną miarą słabej niezwartości.

Kolejne wyniki uzyskałam w pracy (29), w której wspólnie z S. A. Sakerem rozpatrujemy następujące zagadnienie:

x^^m>(t) = /(t,x(t)), teT,

(2.5)    x(0) = 0,

*^A(0) =i?₁,...,*(^A(m-1))(0) =Vm-i. rh, ...rim-ieE > gdzie oznacza słabą A - pochodną rzędu m, T jest nieograniczoną skalą czasową (tzn. niepustym, domkniętym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych takim, że istnieje ciąg (a_n)eT taki, że a_n -* co).

Niech lf(J) oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie A - Lebesgue’a na skali czasowej T. Załóżmy, że istnieje funkcja MeL¹ (T) taka, że M(t) > 0, teT oraz ||/(t, x)|| < M(t), dla prawie wszystkich teT oraz dla każdego xeE .

Ponadto niech b_t = ZJWIIldlly + Jo/o‘ - Jo'”"¹

(    0,    m = 1

K(t, s) = ;_t^s /„'*...    ... A(,, p(0 = jjnn-1,^,    ....._m > i

B, = {* e (C(l„ El w): ||*(s) II < i,, ||x(t) - x(a)|| < |p(r) - p(s) || + K(r. s). t,T, seT, 0 < s < t < t}, I_c = {seT: 0 < s < t).

Zdefiniujmy operator F: B_t -* B_tw postaci

FW(t) = p(0 + f‘ Ij    ...At,.

W celu udowodnienia głównego wyniku pracy (29), w pierwszej kolejności pokazano lemat dotyczący „wchodzenia” ze słabą miarą niezwartości pod znak A-słabej całki.

Lemat. 2.20 (29). Niech X będzie zbiorem jednakowo ciągłym i ograniczonym w przestrzeni funkcji ciqglych C(T,E) oraz S“X(s)As = {!“x(s)As : xeX}. Wtedy /S(l‘x(s)As) < j“^CX(s))As. Główny wynik pracy stanowi poniższe twierdzenie.

17