3307665861

Twierdzenie 1 (Cramera - Rao)

Niech Z = (Zj,..., Z_n) będzie próbą w modelu regularnym oraz niech g(0) będzie funkcją parametryczną oraz T = T(Z) € EN[g(0)]. Jeśli

m = ^^£»[^r(^z>]=S_xj(z)^u(z)dx‘(z),

to

Var[T(Z)\>^,

gdzie

EN[g(6)] - zbiór wszystkich estymatorów nieobciążonych funkcji parametrycznej g(0) posiadających skończoną wariancję,

I_n(0) - informacja Fishera z próby Z.

Bazując na równaniu 10 zapisujemy logarytm wiarygodności modelu

( = ln(L) = ln (n P(Vi\0„ *)) = ± ln(P(is|ft,«)) =

= ^(ln0i + (j/i - 1) ln(0, + Kyi) - (Bi + Ky_{) - lnj/f!).

Przekształcając równanie 12 otrzymujemy

0i = (1 — k) exp(xj o /?),

skąd obliczamy pochodne

ojj- = (1 - K)^ir exp(xi 0/3) =

-(l-/e)exp(x_io_j0)

— = - exp(Xi o /3) =--

0i

Ok    v** ^    1 — k    1 — /c

Do wyznaczenia macierzy informacji Fishera należy wyznaczyć wszystkie możliwe pochodne drugiego rzędu funkcji b

di _ " sc s«,    _ " [i ,    _i    l    ftfe-i)    ]

8/3_r    5 Sft SA § [ft ^{+ 2,1    1} 6, + ny,    \    ^,X,r § [ ⁺ S, + ky,    j

h Kl/i y 1 — K

o,(v, -1)

Vi(Vi — 1) , Si

K (6, + ny<)(l - k) 0, + K.y, 1-

= E

r»i(a -1)

Oi + KUi

10