21297

4. Wniosek i twierdzenia Moivre’a- Laplace*a

Niech zmienna losowa ^„ma rozkład dwumianowy X_n~B(n,p) oraz rozpatrzmy zmienną losową

Y_n :=——. Rozkład zmiennej losowej Y_n jest następujący:    = — j= ^-^^{L =} — j=P(^_(l =^) i ma

charakterystyki:

£(y„) = i£(X„) = p; D'(Y„) = -^jD²(XJ =    = —. Zatem z tw. M-L wynika, że y„ ~

n    n    n n    V n

Zad. 1. Zmienne losowe X,, X₂,..., X„ są niezależne o jednakowym rozkładzie określonym gęstością:

100

Obliczymy prawdopodobieństwo P( K_ł00^55), gdzie *io<,=!>,.

Zad. 2. Zmienne losowe X,,X₂,... są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem A, = 4. Obliczymy

•100

prawdopodobieństwo P(1500 ^Y₄₀₀ < 1720 )_f gdzie Y₄«© =^X, .

Zad. 3. Ciąg (X„)jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie określonym

gęstością: f(x): <

[<| da ii (-1,5

0 da «(-1,1)

150

a)    Obliczyć prawdopodobieństwo, że P(-1<Y<2), gdzie Y := ^X_k.

ISO

b)    Obliczyć prawdopodobieństwo, że P(l X |<0,1), gdzie X    •

i«i

Zad. 4. Ciąg (X„)jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie określonym

X dla X: (OJ)

gęstością: f(x)^:2*X dla X: (1,2) 0 dla xi (0i2)

200

a)    Obliczy: prawdopodobieństwo, że P(190<Y<220), gdzie Y := J^X_k .

»=i

200

b)    Obliczyć prawdopodobieństwo, że P(. X —11<0.05), gdzie X := ₂Jj^X_fc.

1-1

Zad. 5. Czas obsługi klienta w kasie pewnego banku jest zmienną losową o wartości oczekiwanej równej 2 minuty i odchyleniu standardowym równym 1 minucie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 49 klientów będzie obsługiwanych mniej niż 1,5 godziny. Niech X, -ozn. zmienną losową oznaczającą czas obsługi i-tego klienta. Wpłaty i wypłaty są niezależne, więc zmienne X,X ,₅₀ są niezależne.

Zad. 6. Urządzenie składa się ze 192 elementów psujących się niezależnie od siebie. Dany element może się zepsuć w czasie T z prawdopodobieństwem . Obliczymy prawdopodobieństwo, że w czasie T liczba zepsutych elementów będzie mniejsza niż 42.

Zad. 7. Prawdopodobieństwo, uzyskania wygranej w pewnej grze liczbowej wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających osób