8 (9)

(43)

(43)

135

Rodziny funkcji jednakowo ciągłych

L/i (*)-//OOI < «    (1 < i N, d(x, y) < S).

Jeżeli n > N oraz d(x, y) < ó, to

Mx)-fjy)l < |/„(x)~/_N(x)| + |/^)*/₍vWt+ \f_N(y)-/M < 3c.

Wobec (43) dowodzi to naszej tezy.

7.25. TWIERDZENIE. Niech K będzie zbiorem zwartym,f„ e W(K) dla n — 1,2,3,..., i niech ciąg {/«} będzie ograniczony w każdym punkcie K i niech tworzy rodzinę jednakowo ciągłą na-K. Wtedy

a)    {£n} jest jednostajnie ograniczony na K,

b)    {/„} zawiera podciąg jednostajnie zbieżny na K.

Dpwód. Niech będzie dana liczba e > 0. Na mocy definicji 7.22 istnieje ó > 0 taka, że warunek d(x, y) < ó pociąga

(44)    l/»(.x)-/»(y)| < s dla wszystkich n.

Ponieważ K jest zbiorem zwartym, więc istnieje skończony zbiór p_t,..., p_r w K taki, że dla dowolnego x e K istnieje co najmniej jeden punkt p„ dla którego d(x, p_;) < 6. Ponieważ ciąg {/„}-jest punktowo ograniczony, więc istnieje takie M, < oo,że f„ (p,) < A/, dla wszystkich n. JeżeliM= max (M,,... ,Af_r), to |/(x)| < M+e dla dowolnego xeK. Dowodzi to części a) tezy.

b) Niech E będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym K. (Istnienie takiego zbioru £ jest dyskutowane w zadaniu 25 z rozdziału 2.) Z twierdzenia 7.23 wynika, że istnieje podciąg {/„•} ciągu {/„} zbieżny dla każdego xe£. Niech f„₍ — p, dla uproszczenia zapisu. Wykażemy, że ciąg {p,} jest zbieżny jednostajnie na K.

Niech będzie dana liczba e > 0, i wybierzmy 6 > 0 tak samo jak na początku tego dowodu. Niech V(x, S) będzie zbiorem wszystkich y e K, dla których d(x,y)< §. Ponieważ E jest gęsty wK,aK jest zwarty, więc istnieje skończony zbiór punktów x,,... ,x„ zbioru E taki, że

(45)

K cr V{x_t, 5)u...uP(x_m, <5).

Ponieważ {pj(x)} jest zbieżny dla dowolnego x ę £, więc istnieje liczba N taka, że jeśli tylko i $5 N,j > N oraz. 1 < s < m, to

(46)

\9 W-0jr(x_s)| < e.

Jeżeli x e K, to (45) pokazuje, że x 6 V(x„ 5) dla pewnego s, i wobec tego dla dowolnego i mamy

- l0i(x)-0ita)l < «•

Jeśli ponadto i > N oraz j > N, to z (46) wynika, że

lff;(x)-p/x)|    |pi(x)-p_i(x_I)|4-|p_i(x_ł)-'Pj(x_J)|+|p_J(x_I)-p_J(x)| < 3e.

Dowód jest zakończony.